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名古屋大学 多元数理科学研究科 2022年2月実施 1日目 [1]

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Author​

江澤 樹

Description​

cc を実数とし, R4\mathbb{R}^4 の3つのベクトル

(c+2c−2cc−2),(c+1c−2c−1c−1),(ccc−2c)\begin{pmatrix} c+2 \\ c-2 \\ c \\ c-2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} c+1 \\ c-2 \\ c-1 \\ c-1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} c \\ c \\ c-2 \\ c \end{pmatrix}

が生成する部分空間を VV , 2つのベクトル

(1−100),(00−11)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

が生成する部分空間を WW で表す.

(1) VV の次元を求めよ.

(2) V+WV + W の次元を求めよ.

(3) V∩WV \cap W の次元を求めよ.

题目描述​

设 c∈Rc\in\mathbb R。令 V⊆R4V\subseteq\mathbb R^4 由

(c+2c−2cc−2),(c+1c−2c−1c−1),(ccc−2c)\begin{pmatrix}c+2\\c-2\\c\\c-2\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}c+1\\c-2\\c-1\\c-1\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}c\\c\\c-2\\c\end{pmatrix}

张成，令 W⊆R4W\subseteq\mathbb R^4 由

(1−100),(00−11)\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}

张成。求 dim⁡V\dim V、dim⁡(V+W)\dim(V+W) 和 dim⁡(V∩W)\dim(V\cap W)；答案须考虑参数 cc 可能导致的不同情形。

考点​

  • 含参数向量组的秩：通过行化简或子式按 cc 分类求 VV 的维数。
  • 子空间的和与交：将两组生成向量合并求 dim⁡(V+W)\dim(V+W)，再用 dim⁡(V+W)=dim⁡V+dim⁡W−dim⁡(V∩W)\dim(V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W)。

Kai​

(1),(2) は行基本変形によって解決しようという方針にしている. (1) ではなるべく cc を成分から減らすことを考えて最初に第 4 行目を他の行から引いた. (2) はまずは行列式により dim(V+W)<4\text{dim}(V + W) < 4 となる cc を絞り込むことから考えた. (3) は (1),(2) を誘導として考えて次元公式を用いた.

(1)​

VV を生成する3つのベクトルを並べて得られる行列に行基本変形を行うと

(c+2c+1cc−2c−2ccc−1c−2c−2c−1c)→(4200−1020−2c−2c−1c)→(100010001c−2c−1c)\begin{pmatrix} c+2 & c+1 & c \\ c-2 & c-2 & c \\ c & c-1 & c-2 \\ c-2 & c-1 & c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ c-2 & c-1 & c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c-2 & c-1 & c \end{pmatrix}

とできる. よって, cc によらずにこの行列の階数は 33 であるから

dimV=3\text{dim}V = 3

と求まる.

(2)​

VV を生成する3つのベクトルと WW を生成するベクトルのうち1つをを並べて得られる行列について, (1) の途中計算を利用して行列式を計算してみると

∣c+2c+1c1c−2c−2c−1cc−1c−20c−2c−1c0∣=∣42010−10−120−20c−2c−1c0∣=4−4c\begin{vmatrix} c+2 & c+1 & c & 1 \\ c-2 & c-2 & c & -1 \\ c & c-1 & c-2 & 0 \\ c-2 & c-1 & c & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ c-2 & c-1 & c & 0 \end{vmatrix} =4-4c

となるため c≠1c \neq 1 ならば dim(V+W)=4\text{dim}(V + W) = 4 である. さらに, c=1c = 1 のときは VV を生成する3つのベクトルと WW を生成するベクトル2つを並べて得られる行列について行基本変形により

(1+21+11101−21−21−1011−11−20−11−21−1101)→(100−1/4−3/401011001−1/41/400000)\begin{pmatrix} 1+2 & 1+1 & 1 & 1 & 0 \\ 1-2 & 1-2 & 1& -1 & 0 \\ 1 & 1-1 & 1-2 & 0 & -1 \\ 1-2 & 1-1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1/4 & -3/4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

とでき, c=1c = 1 のとき dim(V+W)=3\text{dim}(V + W) = 3 である. よって

dim(V+W)={4(c≠1)3(c=1)\text{dim}(V+W) = \begin{cases} 4 &(c \neq 1) \\ 3 &(c = 1) \end{cases}

と求まる.

(3)​

簡単な計算により dimW=2\text{dim}W = 2 であることが確認できるから, 次元公式 (齋藤正彦, 線型代数入門, 東京大学出版会., p.109, 定理 4.7) と (1), (2) の結果により

dim(V∩W)=dimV+dimW−dim(V+W)=(1)3+2−dim(V+W)=(2){1(c≠1)2(c=1)\text{dim}(V \cap W) = \text{dim}V + \text{dim}W - \text{dim}(V+W) \overset{(1)}{=} 3 + 2 - \text{dim}(V+W) \overset{(2)}{=} \begin{cases} 1 &(c \neq 1) \\ 2 &(c = 1) \end{cases}

と求まる.

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