名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 2日目 [3]

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江澤 樹

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以下の問に答えよ.

(1) の開集合 上の実数値関数 が 級で偏導関数 が 上で恒等的に零であるとする. が条件

• 「 の任意の 点は 内の 級曲線で結べる」

をみたすならば, は定数関数であることを示せ.

(2) 位相空間 上の実数値関数 が局所定数関数であるとは, 任意の に対して, を含む開集合 が存在して, が 上で定数であることとする. が連結ならば, 上の局所定数関数は 上の定数関数であることを示せ.

Kai

(1) は Euclid 空間上の微分形式の線積分を勉強したときのことを思い出した.

(1)

任意の を固定し, から への 級曲線 をとる. 仮定より が 級であるから も 級で, 微分積分学の基本定理, 合成関数の微分公式および問題文の条件から

と計算できる. ここで, である. 以上により は定数関数である (坪井俊, 幾何学 III, 東京大学出版会.).

(2)

点部分集合の逆像 は の開集合である. 実際, とすれば であるから を含む開集合 が存在して, が 上で定数 である. このとき ゆえ であるからやはり は の開集合である. さて, ならば である. であるから が 元以上含めば が連結であることに反する.