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名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 2日目 [3]

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Author​

江澤 樹

Description​

以下の問に答えよ.

(1) Rn\mathbb{R}^n の開集合 U(≠∅)U (\neq \emptyset) 上の実数値関数 f:U→Rf: U \rightarrow \mathbb{R} が C1C^1 級で偏導関数 ∂f∂x1,∂f∂x2,…,∂f∂xn\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} が UU 上で恒等的に零であるとする. UU が条件

  • 「UU の任意の 22 点は UU 内の C1C^1 級曲線で結べる」

をみたすならば, ff は定数関数であることを示せ.

(2) 位相空間 X(≠∅)X (\neq \emptyset) 上の実数値関数 f:X→Rf : X \rightarrow R が局所定数関数であるとは, 任意の p∈Xp \in X に対して, pp を含む開集合 VV が存在して, ff が VV 上で定数であることとする. XX が連結ならば, XX 上の局所定数関数は XX 上の定数関数であることを示せ.

题目描述​

  1. 设非空开集 U⊆RnU\subseteq\mathbb R^n 上的实值函数 f:U→Rf:U\to\mathbb R 为 C1C^1，且所有偏导
    ∂f∂x1,…,∂f∂xn\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}
    在 UU 上恒为零。若 UU 中任意两点都能由一条完全位于 UU 内的 C1C^1 曲线连接，证明 ff 为常函数。
  2. 在非空拓扑空间 XX 上，若对每个 p∈Xp\in X 都存在含 pp 的开集 VV，使 f:X→Rf:X\to\mathbb R 在 VV 上为常数，则称 ff 局部常值。证明：若 XX 连通，则每个局部常值函数在整个 XX 上恒定。

考点​

  • 路径连通域上的零梯度函数：沿连接任意两点的 C1C^1 曲线使用链式法则，证明复合函数导数恒为零。
  • 连通空间上的局部常值函数：利用某一函数值的原像既开又闭，或把空间分成不同值域对应的开集来导出矛盾。

Kai​

(1) は Euclid 空間上の微分形式の線積分を勉強したときのことを思い出した.

(1)​

任意の p,q∈Up, q \in U を固定し, pp から qq への C1C^1 級曲線 γ:[a,b]→U (γ(a)=p,γ(b)=q)\gamma :[a,b] \rightarrow U \ (\gamma(a) = p, \gamma(b)=q) をとる. 仮定より f,γf, \gamma が C1C^1 級であるから f∘γf \circ \gamma も C1C^1 級で, 微分積分学の基本定理, 合成関数の微分公式および問題文の条件から

f(q)−f(p)=f(γ(b))−f(γ(a))=∫abd(f∘γ)dt(t)dt=∫ab(∂f∂x1(γ(t))dγ1dt(t)+⋯∂f∂xn(γ(t))dγndt(t))dt=0\begin{aligned} f(q) - f(p) &= f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) = \int_{a}^{b} \frac{d(f \circ \gamma)}{dt} (t) dt \\ &= \int_a^b \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} (\gamma(t)) \frac{d \gamma_1}{dt}(t) + \cdots \frac{\partial f}{\partial x_n} (\gamma(t)) \frac{d \gamma_n}{dt}(t) \right)dt \\ &= 0 \end{aligned}

と計算できる. ここで, γ(t)=(γ1(t),…,γn(t))\gamma(t) = (\gamma_1(t), \ldots , \gamma_n(t)) である. 以上により ff は定数関数である (坪井俊, 幾何学 III, 東京大学出版会.).

(2)​

11 点部分集合の逆像 f−1({a})f^{-1}(\{a\}) は XX の開集合である. 実際, p∈f−1({a})p \in f^{-1}(\{a\}) とすれば f(p)=af(p) = a であるから pp を含む開集合 VpV_p が存在して, ff が VpV_p 上で定数 aa である. このとき Vp⊂f−1({a})V_p \subset f^{-1}(\{a\}) ゆえ ⋃f(p)=aVp=f−1({a})\bigcup_{f(p)=a} V_p = f^{-1}(\{a\}) であるからやはり f−1({a})f^{-1}(\{a\}) は XX の開集合である. さて, a≠ba \neq b ならば f−1({a})∩f−1({b})=∅f^{-1}(\{a\}) \cap f^{-1}(\{b\}) = \emptyset である. X=⋃a∈f(X)f−1({a})X = \bigcup_{a \in f(X)} f^{-1}(\{a\}) であるから f(X)f(X) が 22 元以上含めば XX が連結であることに反する.

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