名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 2日目 [2]

Author

江澤 樹

Description

とする. 上で定義された関数 は, ある が存在して の任意の分割

に対して

をみたすとき, で有界変動であるという. 以下の問に答えよ.

(1) は を含む開区間で微分可能で, その導関数 は で有界とする. このとき は で有界変動であることを示せ.

(2) 次の関数は で有界変動であるかどうか, 理由とともに答えよ.

Kai

有界変動性が題材となっているのは珍しい. (1) は有名な事実であり平均値の定理から が Lipschitz 連続であり Lipschitz 定数がどのように取れるのかを示した. (2) は (i) を解くにあたって最初から (1) の結果が使えないか考えた. (ii) では問題の流れからして有界変動でないと予想して考えた.

(1)

任意の分割 に対して, 平均値の定理より

とできる. ここで, とおいて

から について和をとれば

とできるため は で有界変動である.

(2)

(i)

有界変動である.

理由:まず,

と積の微分公式から

である. よって, 任意の に対して

ゆえ は を含む開区間で微分可能で, その導関数 は で有界である. よって (1) より は で有界変動である.

(ii)

有界変動でない.

理由:いま の分割として

なる 個の分点より成るものを取れば

だからこの分割について, の における変動量 (杉浦光夫, 解析入門 I, 東京大学出版会. 定義 4) の下からの評価が

となることによる (杉浦光夫, 解析入門 I, 東京大学出版会. p.343, 例 3).