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名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 2日目 [2]

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Author​

江澤 樹

Description​

I=[0,1]I = [0,1] とする. II 上で定義された関数 φ\varphi は, ある M>0M > 0 が存在して II の任意の分割

0=t0<t1<⋯<tn=10 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = 1

に対して

∑j=0n−1∣φ(tj+1)−φ(tj)∣≤M\sum_{j=0}^{n-1} |\varphi(t_{j+1}) - \varphi(t_j)| \leq M

をみたすとき, II で有界変動であるという. 以下の問に答えよ.

(1) ff は II を含む開区間で微分可能で, その導関数 f′f' は II で有界とする. このとき ff は II で有界変動であることを示せ.

(2) 次の関数は II で有界変動であるかどうか, 理由とともに答えよ.

(i)  g(x)={x2sin⁡1x(x≠0)0(x=0)(ii)  h(x)={xcos⁡1x(x≠0)0(x=0)(\text{i}) \ \ g(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} &(x \neq 0) \\ 0 &(x = 0) \end{cases} \qquad (\text{ii}) \ \ h(x) = \begin{cases} x \cos \frac{1}{x} &(x \neq 0) \\ 0 &(x = 0) \end{cases}

题目描述​

令 I=[0,1]I=[0,1]。若存在 M>0M>0，使对 II 的任意分割

0=t0<t1<⋯<tn=10=t_0<t_1<\cdots<t_n=1

均有

∑j=0n−1∣φ(tj+1)−φ(tj)∣≤M,\sum_{j=0}^{n-1}|\varphi(t_{j+1})-\varphi(t_j)|\le M,

则称 φ\varphi 在 II 上有界变差。

  1. 设 ff 在包含 II 的开区间上可微，且 f′f' 在 II 上有界，证明 ff 在 II 上有界变差。
  2. 分别判断下列函数在 II 上是否有界变差，并说明理由：
    g(x)={x2sin⁡(1/x),x≠0,0,x=0,h(x)={xcos⁡(1/x),x≠0,0,x=0.g(x)= \begin{cases}x^2\sin(1/x),&x\ne0,\\0,&x=0,\end{cases} \qquad h(x)= \begin{cases}x\cos(1/x),&x\ne0,\\0,&x=0.\end{cases}

考点​

  • 有界变差函数：从定义出发，用中值定理和导数一致有界控制任意分割上的总变差。
  • 振荡函数的变差判定：分析原点附近振幅衰减与振荡频率的竞争，或考察导数绝对值的可积性/构造分割下界。

Kai​

有界変動性が題材となっているのは珍しい. (1) は有名な事実であり平均値の定理から ff が Lipschitz 連続であり Lipschitz 定数がどのように取れるのかを示した. (2) は (i) を解くにあたって最初から (1) の結果が使えないか考えた. (ii) では問題の流れからして有界変動でないと予想して考えた.

(1)​

任意の分割 0=t0<t1<⋯<tn=10 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = 1 に対して, 平均値の定理より

f(tj+1)−f(tj)=f′(τj)(tj+1−tj),tj<τj<tj+1f(t_{j+1}) - f(t_j) = f'(\tau_j)(t_{j+1}-t_j), \quad t_j < \tau_j < t_{j+1}

とできる. ここで, M:=sup⁡t∈I∣f′(t)∣M:=\sup_{t \in I} |f'(t)| とおいて

∣f(tj+1)−f(tj)∣≤M∣tj+1−tj∣,∀j=0,1,…,n−1|f(t_{j+1}) - f(t_j)| \leq M|t_{j+1}-t_j|, \quad \forall j = 0, 1, \ldots, n-1

から jj について和をとれば

∑j=0n−1∣f(tj+1)−f(tj)∣≤M∑j=0n−1∣tj+1−tj∣=M(1−0)=M\sum_{j = 0}^{n-1} |f(t_{j+1}) - f(t_j)| \leq M \sum_{j = 0}^{n-1} |t_{j+1}-t_j| = M(1-0) = M

とできるため ff は II で有界変動である.

(2)​

(i)​

有界変動である.

理由:まず,

g(0+ε)−g(0)ε=ε2sin⁡1ε−0ε=εsin⁡1ε→0(ε→0)\frac{g(0+\varepsilon) - g(0)}{\varepsilon} = \frac{\varepsilon^2 \sin \frac{1}{\varepsilon} - 0}{\varepsilon} = \varepsilon \sin \frac{1}{\varepsilon} \rightarrow 0 \quad (\varepsilon \rightarrow 0)

と積の微分公式から

g′(x)={2xsin⁡1x−xcos⁡1x(x≠0)0(x=0)g'(x) = \begin{cases} 2x \sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x} &(x \neq 0) \\ 0 &(x = 0) \end{cases}

である. よって, 任意の x∈Ix \in I に対して

∣g′(x)∣≤∣2xsin⁡1x−xcos⁡1x∣≤2∣x∣∣sin⁡1x∣+∣x∣∣cos⁡1x∣≤2∣x∣+∣x∣=3∣x∣≤3|g'(x)| \leq \left| 2x \sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x} \right| \leq 2|x| \left| \sin \frac{1}{x} \right| + |x| \left| \cos \frac{1}{x} \right| \leq 2|x| + |x| = 3|x| \leq 3

ゆえ gg は II を含む開区間で微分可能で, その導関数 g′g' は II で有界である. よって (1) より gg は II で有界変動である.

(ii)​

有界変動でない.

理由:いま II の分割として

0<24nπ<2(4n−1)π<⋯<23π<22π<10 < \frac{2}{4n \pi} < \frac{2}{(4n-1)\pi} < \cdots < \frac{2}{3\pi} < \frac{2}{2\pi} < 1

なる 4n+14n + 1 個の分点より成るものを取れば

h(24jπ)=24jπ,h(2(4j−1)π)=0,h(2(4j−2)π)=−2(4j−2)π,h(2(4j−3)π)=0h \left(\frac{2}{4j\pi} \right) = \frac{2}{4j\pi}, h \left(\frac{2}{(4j-1)\pi} \right) = 0, h \left(\frac{2}{(4j-2)\pi} \right) = -\frac{2}{(4j-2)\pi}, h \left(\frac{2}{(4j-3)\pi} \right) = 0

だからこの分割について, hh の II における変動量 (杉浦光夫, 解析入門 I, 東京大学出版会. 定義 4) の下からの評価が

2∑j=1n(24jπ+2(4j−2)π)=4π∑j=12n1j→+∞(n→+∞)2 \sum_{j=1}^n \left( \frac{2}{4j\pi} + \frac{2}{(4j-2)\pi}\right) = \frac{4}{\pi} \sum_{j=1}^{2n} \frac{1}{j} \rightarrow +\infty \quad (n \rightarrow +\infty)

となることによる (杉浦光夫, 解析入門 I, 東京大学出版会. p.343, 例 3).

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