名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 2日目 [1]

标签：

• 名古屋大学
• 厄米矩阵
• 内积与正交性
• 特征值与特征向量
• 酉矩阵
• 矩阵对角化

Author

江澤 樹, 祭音Myyura

Description

出典：名古屋大学公表問題。

$n$ 次実正方行列 $A$ は $A^2 = A^{\top}$ をみたすとする. ただし, $A^{\top}$ は $A$ の転置行列とする. $\mathbb{C}^n$ の元 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$, $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ に対して, $\langle x,y \rangle$ は標準 Hermite 内積 $\sum_{j=1}^n x_j \overline{y_j}$ を表すものとする. 以下の問に答えよ.

(1) $v$ を固有値 $\alpha$ に対する $A$ の固有ベクトルとする. $\langle v, Av \rangle$ を考察することにより $\alpha^2 = \overline{\alpha}$ を示せ.

(2) 異なる固有値に対する $A$ の固有ベクトルは直交することを示せ.

以下, $n = 3$ とし, $A$ は条件

• $A^2=A^{\top}$ が成り立ち, 正則であり, かつ単位行列でない

をみたすとする.

(3) $A$ の固有値のうち少なくとも一つは実数であることを示し, さらに $A$ の固有値をすべて求めよ. また, $A$ はユニタリ行列により対角化されることを示せ.

(4) 条件をみたす $A$ の例を与えよ.

题目描述

设 $n$ 阶实方阵 $A$ 满足 $A^2=A^\top$。对 $x,y\in\mathbb C^n$，采用标准 Hermite 内积

$$\langle x,y\rangle=\sum_{j=1}^nx_j\overline{y_j}.$$

1. 若 $v$ 是 $A$ 对应特征值 $\alpha$ 的特征向量，通过考察 $\langle v,Av\rangle$ 证明 $\alpha^2=\overline\alpha$。
2. 证明 $A$ 的不同特征值所对应的特征向量相互正交。
3. 以下令 $n=3$，并设 $A^2=A^\top$、$A$ 可逆且 $A\ne I$。证明 $A$ 至少有一个实特征值，进而求出全部特征值，并证明 $A$ 可由酉矩阵对角化。
4. 给出一个满足上述条件的 $A$ 的例子。

Kai

(1)

標準 Hermite 内積の性質により

$$\langle v, Av \rangle = \langle A^*v, v \rangle = \langle A^{\top}v, v \rangle = \langle A^2v, v \rangle = \langle \alpha^2 v, v \rangle = \alpha^2 \langle v, v \rangle$$

である. ただし, $A^∗$ は $A$ の随伴行列である. 一方で, 標準 Hermite 内積の第二変数に関する共役線形性により

$$\langle v, Av \rangle = \langle v, \alpha v \rangle = \overline{\alpha} \langle v, v \rangle$$

である. よって, 固有ベクトルは非零であり $\langle v,v\rangle>0$ なので $\alpha^2 = \overline{\alpha}$ である.

(2)

$v,w$ をそれぞれ固有値 $\alpha, \beta$ に対する $A$ の固有ベクトルとする. 標準 Hermite 内積の第一変数に関する線形性により

$$\langle Av, w \rangle = \langle \alpha v, w \rangle = \alpha \langle v, w \rangle$$

である. 一方, 標準 Hermite 内積の第二変数に関する共役線形性と (1) の結果を用いると

$$\langle Av,w \rangle = \langle v, A^{T} w \rangle = \langle v, A^2 w \rangle = \langle v ,\beta^2 w \rangle = \overline{\beta^2} \langle v, w \rangle \overset{(1)}{=} \overline{\overline{\beta}} \langle v, w \rangle = \beta \langle v, w \rangle$$

である. よって $\alpha \neq \beta$ であれば $\langle v, w \rangle = 0$ でなければならない. よって異なる固有値に対する $A$ の固有ベクトルは直交する.

(3)

$A$ は $3$ 次実正方行列であるからその固有多項式 $|xI-A|$ は実数係数 3 次多項式である. よって中間値の定理よりその根のうち少なくとも一つは実数である. つまり $A$ の固有値のうち少なくとも一つは実数である. また, (1) より $A$ の実固有値は $0, 1$ のどちらかである. 条件より $A$ は正則であるため $0$ を固有値にもたない. つまり $A$ は固有値 $1$ をもち, $1$ 以外に実固有値はもたない. さらに $AA^{\top}=A^3=A^{\top}A$ より $A$ は正規行列なのでユニタリ対角化可能である. したがって, 固有値がすべて $1$ ならば $A=I$ となる. 条件より $A\ne I$ なので実数でない固有値 $\lambda$ ももつ. $A$ は実行列であったから $\overline{\lambda}$ もまた $A$ の固有値である. (1) の結果と de Moivre の定理から $\lambda$ の絶対値, 偏角が計算できて, $A$ の固有値は

$$1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$$

の三つであることがわかる. これと (2) より各固有値に対する固有ベクトルは直交するから, それぞれ正規化して並べれば $A$ を対角化するユニタリ行列を構成できる.

(4)

置換行列で

$$A := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

とすればよい. これが条件をみたすことは容易に確認できる.