名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 2日目 [1]

标签：

• Nagoya-University
• Hermitian-Matrix
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Unitary-Matrix
• Matrix-Diagonalization

Author

江澤 樹

Description

$n$ 次実正方行列 $A$ は $A^2 = A^{\top}$ をみたすとする. ただし, $A^{\top}$ は $A$ の転置行列とする. $\mathbb{C}^n$ の元 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$, $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ に対して, $\langle x,y \rangle$ は標準 Hermite 内積 $\sum_{j=1}^n x_j \overline{y_j}$ を表すものとする. 以下の問に答えよ.

(1) $v$ を固有値 $\alpha$ に対する $A$ の固有ベクトルとする. $\langle v, Av \rangle$ を考察することにより $\alpha^2 = \overline{\alpha}$ を示せ.

(2) 異なる固有値に対する $A$ の固有ベクトルは直交することを示せ.

以下, $n = 3$ とし, $A$ は条件

• $A^2=A^{\top}$ が成り立ち, 正則であり, かつ単位行列でない

をみたすとする.

(3) $A$ の固有値のうち少なくとも一つは実数であることを示し, さらに $A$ の固有値をすべて求めよ. また, $A$ はユニタリ行列により対角化されることを示せ.

(4) 条件をみたす $A$ の例を与えよ.

题目描述

设 $n$ 阶实方阵 $A$ 满足 $A^2=A^\top$。对 $x,y\in\mathbb C^n$，采用标准 Hermite 内积

$$\langle x,y\rangle=\sum_{j=1}^nx_j\overline{y_j}.$$

1. 若 $v$ 是 $A$ 对应特征值 $\alpha$ 的特征向量，通过考察 $\langle v,Av\rangle$ 证明 $\alpha^2=\overline\alpha$。
2. 证明 $A$ 的不同特征值所对应的特征向量相互正交。
3. 以下令 $n=3$，并设 $A^2=A^\top$、$A$ 可逆且 $A\ne I$。证明 $A$ 至少有一个实特征值，进而求出全部特征值，并证明 $A$ 可由酉矩阵对角化。
4. 给出一个满足上述条件的 $A$ 的例子。

考点

• Hermite 内积与特征值约束：结合 $A^2=A^\top$ 和复内积的共轭对称性推导 $\alpha$ 必须满足的方程。
• 特征向量正交性：利用正规性或内积恒等式证明不同特征值的特征向量正交。
• 酉对角化：确定三阶实矩阵可能的谱，并构造标准正交特征基。

Kai

この問題は全体的に抽象度は高くない. (1) は問題文の誘導に従った. (2) は Hermite 行列の異なる固有値についての固有ベクトルは直交することの証明を思い出した. (3) を解く前に (4) の例を勘で考え, (3) の固有値についての結果を予想した. ユニタリ行列による対角化可能性については正規性 $AA^{\top} = A^{\top}A$ からも従う.

(1)

標準 Hermite 内積の性質により

$$\langle v, Av \rangle = \langle A^*v, v \rangle = \langle A^{\top}v, v \rangle = \langle A^2v, v \rangle = \langle \alpha^2 v, v \rangle = \alpha^2 \langle v, v \rangle$$

である. ただし, $A^∗$ は $A$ の随伴行列である. 一方で, 標準 Hermite 内積の第二変数に関する共役線形性により

$$\langle v, Av \rangle = \langle v, \alpha v \rangle = \overline{\alpha} \langle v, v \rangle$$

である. よって, 固有ベクトル $v$ の任意性により $\alpha^2 = \overline{\alpha}$ である.

(2)

$v,w$ をそれぞれ固有値 $\alpha, \beta$ に対する $A$ の固有ベクトルとする. 標準 Hermite 内積の第一変数に関する線形性により

$$\langle Av, w \rangle = \langle \alpha v, w \rangle = \alpha \langle v, w \rangle$$

である. 一方, 標準 Hermite 内積の第二変数に関する共役線形性と (1) の結果を用いると

$$\langle Av,w \rangle = \langle v, A^{T} w \rangle = \langle v, A^2 w \rangle = \langle v ,\beta^2 w \rangle = \overline{\beta^2} \langle v, w \rangle \overset{(1)}{=} \overline{\overline{\beta}} \langle v, w \rangle = \beta \langle v, w \rangle$$

である. よって $\alpha \neq \beta$ であれば $\langle v, w \rangle = 0$ でなければならない. よって異なる固有値に対する $A$ の固有ベクトルは直交する.

(3)

$A$ は $3$ 次実正方行列であるからその固有多項式 $|xI-A|$ は実数係数 3 次多項式である. よって中間値の定理よりその根のうち少なくとも一つは実数である. つまり $A$ の固有値のうち少なくとも一つは実数である. また, (1) より $A$ の実固有値は $0, 1$ のどちらかである. 条件より $A$ は正則であるため $0$ を固有値にもたない. つまり $A$ は固有値 $1$ をもち, $1$ 以外に実固有値はもたない. 条件より $A$ は単位行列ではないから実数でない固有値 $\lambda$ ももつことになる. $A$ は実行列であったから $\overline{\lambda}$ もまた $A$ の固有値である. (1) の結果と de Moivre の定理から $\lambda$ の絶対値, 偏角が計算できて, $A$ の固有値は

$$1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$$

の三つであることがわかる. これと (2) より各固有値に対する固有ベクトルは直交するから, それぞれ正規化して並べれば $A$ を対角化するユニタリ行列を構成できる.

(4)

置換行列で

$$A := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

とすればよい. これが条件をみたすことは容易に確認できる.