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名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 1日目 [3]

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Author​

江澤 樹

Description​

広義積分

I=∫−∞∞1x6+1dxI = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^6+1} dx

を考える．以下の問に答えよ．

(1) 複素関数 f(z)=1z6+1f(z) = \frac{1}{z^6+1} の上半平面 {z=x+iy∈C;x,y∈R,y>0}\{z = x + iy \in \mathbb{C} ; x,y \in \mathbb{R}, y > 0\} 内の極とそこでの留数を求めよ．

(2) 留数定理を用いて II の値を求めよ．

题目描述​

考虑广义积分

I=∫−∞∞dxx6+1.I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^6+1}.
  1. 求复函数
    f(z)=1z6+1f(z)=\frac1{z^6+1}
    在上半平面 {z=x+iy∣x,y∈R, y>0}\{z=x+iy\mid x,y\in\mathbb R,\ y>0\} 内的全部极点及其留数。
  2. 使用留数定理求 II。

考点​

  • 极点与留数：求六次单位根中满足 z6=−1z^6=-1 且位于上半平面的三个单极点，并用分母导数计算留数。
  • 利用留数求实积分：选择上半圆轮廓，证明大圆弧贡献趋零，并把实轴积分表示为内部留数之和。

Kai​

(1)​

P(z):=z6+1,Q(z):=1P(z):= z^6+1, Q(z):=1 とおくと, f(z)=Q(z)P(z)f(z) = \frac{Q(z)}{P(z)} である. 方程式 P(z)=0P(z) = 0 の解を求めるため z=reiθ (r>0,θ∈R)z = re^{i\theta}\ (r>0, \theta \in \mathbb{R}) とおき, −1=eπi-1 = e^{\pi i} であることに注意すると

z6+1=0⇔z6=−1⇔(reiθ)6=eπi⇔r6e6iθ=eπi⇔r6=1 & e6iθ=eπi⇔r=1 & ∃n∈Z s.t. 6θ=π+2nπ⇔∃n∈Z s.t. z=exp⁡(π+2nπ6i)\begin{aligned} z^6+1 = 0 &\Leftrightarrow z^6 = -1 \\ &\Leftrightarrow (re^{i \theta})^6 = e^{\pi i} \\ &\Leftrightarrow r^6 e^{6i \theta} = e^{\pi i} \\ &\Leftrightarrow r^6=1 \ \& \ e^{6i \theta} = e^{\pi i} \\ &\Leftrightarrow r = 1 \ \& \ \exists n \in \mathbb{Z} \text{ s.t. } 6\theta = \pi + 2n \pi \\ &\Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{Z} \text{ s.t. } z = \exp(\frac{\pi + 2n \pi}{6}i) \end{aligned}

とできる. 最後の式は nn について周期 66 であるので, 連続する 66 個取ればすべてのものをつくす. よって P(z)P(z) の零点 cc は

c=eπ6i,eπ2i,e5π6i,e7π6i,e3π2i,e11π6ic = e^{\frac{\pi}{6}i}, e^{\frac{\pi}{2}i}, e^{\frac{5\pi}{6}i}, e^{\frac{7\pi}{6}i}, e^{\frac{3\pi}{2}i}, e^{\frac{11\pi}{6}i}

つまり

c=±i,±3±i2c = \pm i, \frac{\pm \sqrt{3} \pm i}{2}

である(復号任意). これらの位数はみな 11 であり, P,QP, Q は C\mathbb{C} 全体で正則で, Q(c)=1≠0Q(c) = 1 \neq 0 であるから, これらは ff の 11 位の極であり,

Res(f;c)=Q(c)P′(c)=16c5=c6c6=−c6\text{Res}(f;c) = \frac{Q(c)}{P'(c)} = \frac{1}{6c^5} = \frac{c}{6c^6} = -\frac{c}{6}

である. 以上により極 cc のうちで上半平面にあるものは

i,±3+i2i, \frac{\pm \sqrt{3} + i}{2}

でありそこでの留数は

Res(f;i)=−i6, Res(f,±3+i2)=−±3+i12\text{Res}(f;i) = -\frac{i}{6}, \ \text{Res}(f, \frac{\pm \sqrt{3} + i}{2}) = -\frac{\pm \sqrt{3} +i}{12}

である (復号同順).

(2)​

deg P(z)=6,deg Q(z)=0\text{deg}\ P(z) = 6, \text{deg}\ Q(z) = 0, deg P(z)≥deg Q(z)+2,∀x∈R,P(x)≠0\text{deg}\ P(z) \geq \text{deg}\ Q(z) + 2, \forall x \in \mathbb{R}, P(x) \neq 0 であることに注意する. R≫1R \gg 1 に対して, 実軸上の線分 JR:={z=x∈R;−R≤x≤R}J_R := \{z=x \in \mathbb{R} ; -R \leq x \leq R\} と上半円 CR:={z=Reiθ∈C;0≤θ≤π}C_R := \{z=Re^{i\theta} \in \mathbb{C}; 0 \leq \theta \leq \pi\} からなる閉曲線に反時計回りの向きを入れた積分経路を γR:=JR+CR\gamma_R:= J_R+C_R とおく. この閉曲線 γR\gamma_R を図示すると

となり, 留数定理 と (1) の結果より

∫γRf(z)dz=2πi∑Im c>0Res(f;c)=(1)2πi{Res(f;3+i2)+Res(f;i)+Res(f;−3+i2)}=(1)2πi(−3+i12−i6−−3+i12)=23π\begin{aligned} \int_{\gamma_R} f(z)dz &= 2\pi i \sum_{\text{Im}\ c >0} \text{Res}(f;c) \\ &\overset{(1)}{=} 2\pi i \left\{\text{Res} \left(f; \frac{\sqrt{3}+i}{2}\right) + \text{Res} \left(f; i\right) + \text{Res} \left(f; \frac{-\sqrt{3}+i}{2}\right) \right\} \\ &\overset{(1)}{=} 2\pi i \left(-\frac{\sqrt{3}+i}{12} - \frac{i}{6} -\frac{-\sqrt{3}+i}{12} \right) \\ &= \frac{2}{3}\pi \end{aligned}

である. ここで, ∣z∣=R|z| = R のとき ∣z6+1∣≥∣z∣6−1=R6−1>0|z^6+1| \geq |z|^6-1 = R^6-1 > 0 が成り立ち, CRC_R の長さは πR\pi R であるから

∣∫CRf(z)dz∣≤πRR6−1→0 (R→∞)\left| \int_{C_R} f(z)dz \right| \leq \frac{\pi R}{R^6 - 1} \rightarrow 0 \ (R \rightarrow \infty)

である. よって

I=∫−∞∞f(x)dx=lim⁡R→∞∫JRf(z)dz=lim⁡R→∞(∫γRf(z)dz−∫CRf(z)dz)=23π\begin{aligned} I &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \lim_{R \rightarrow \infty} \int_{J_R} f(z)dz \\ &= \lim_{R \rightarrow \infty} \left(\int_{\gamma_R} f(z)dz - \int_{C_R} f(z)dz \right) \\ &= \frac{2}{3} \pi \end{aligned}

となることによる (梶原壌二, 関数論入門, 森北出版株式会社. p.82 問題 3.5).

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