名古屋大学多元数理科学研究科 2021年2月実施 1日目 [3]

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広義積分

を考える．以下の問に答えよ．

(1) 複素関数の上半平面内の極とそこでの留数を求めよ．

(2) 留数定理を用いての値を求めよ．

とおくと, である. 方程式の解を求めるためとおき, であることに注意すると

とできる. 最後の式はについて周期であるので, 連続する個取ればすべてのものをつくす. よっての零点は

つまり

である(復号任意). これらの位数はみなであり, は全体で正則で, であるから, これらはの位の極であり,

である. 以上により極のうちで上半平面にあるものは

でありそこでの留数は

である (復号同順).

, であることに注意する. に対して, 実軸上の線分と上半円からなる閉曲線に反時計回りの向きを入れた積分経路をとおく. この閉曲線を図示すると

となり, 留数定理と (1) の結果より

である. ここで, のときが成り立ち, の長さはであるから

である. よって

となることによる (梶原壌二, 関数論入門, 森北出版株式会社. p.82 問題 3.5).