名古屋大学 多元数理科学研究科 2021年2月実施 1日目 [1]

标签：

• 名古屋大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化

Author

江澤 樹, 祭音Myyura

Description

出典：名古屋大学公表問題。

$a, b$ を実数とする．$3$ 次正方行列

$$A = \begin{pmatrix} -b & b+1 & a \\ -2b & 2b+1 & a \\ -b-1 & b+1 & a+1 \end{pmatrix}$$

について，以下の問に答えよ．

(1) $A$ の固有値で，$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ t \end{pmatrix}$ という形の固有ベクトル (ただし，$t$ は実数とする) をもつものをすべて求めよ．

(2) $A$ の固有値をすべて求めよ．

(3) $b = 1$ の場合に，固有値 $1$ に対する固有空間の次元を求めよ．

(4) $A$ が対角化不可能であるために $a, b$ がみたすべき必要十分条件を求めよ．

题目描述

设 $a,b\in\mathbb R$，并给定

$$A=\begin{pmatrix} -b&b+1&a\\ -2b&2b+1&a\\ -b-1&b+1&a+1 \end{pmatrix}.$$

1. 求 $A$ 的所有具有形如 $(1,1,t)^\top$（$t$ 为实数）特征向量的特征值。
2. 求 $A$ 的全部特征值。
3. 当 $b=1$ 时，求特征值 $1$ 的特征空间维数。
4. 求 $A$ 不可对角化时参数 $a,b$ 满足的充要条件。

Kai

(1)

問題の固有値を $\lambda$ とする. また, 固有値 $\lambda$ に対する固有空間を $V_{\lambda}$ とおく. 固有値と固有ベクトルの定義より

$$\begin{pmatrix} -b & b+1 & a \\ -2b & 2b+1 & a \\ -b-1 & b+1 & a+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ t \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ t \end{pmatrix}$$

で, これは簡単に

$$\begin{pmatrix} ta+1 \\ ta+1 \\ t(a+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \\ \lambda t \end{pmatrix}$$

と計算できる. したがって $\lambda=at+1$ かつ

$$a t(1-t)=0$$

である. $a\neq0$ ならば $t=0,1$ であり、$a=0$ ならば任意の $t$ に対して $\lambda=1$ である。したがって、求める固有値は $1,a+1$ であり、

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in V_1, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in V_{a+1} \quad (\forall a,b \in \mathbb{R})$$

である. なお, この2つの固有ベクトルは $a$ の値に依存せずに線形独立である. とくに $a = 0$ の場合は $A$ の固有値 $1$ の重複度は $2$ 以上であり, $\text{dim}(V_1) \geq 2$ であることがわかる. このことは (4) において用いる.

(2)

(1) より $A$ は $1, a + 1$ を固有値にもつ. 残り1つを $\lambda$ とおく. $\text{tr}(A) = −b + (2b + 1) + (a + 1)$ であり, 一般に, 跡 (trace) は固有値の和に等しい. つまり, $\text{tr}(A) = 1 + (a + 1) + \lambda$ でもある. よって, $\lambda = b$ である. よって, $A$ の固有値は

$$1, a+1, b$$

と求まる.

(3)

$b = 1$ の場合,

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & a \\ -2 & 3 & a \\ -2 & 2 & a+1 \end{pmatrix}$$

であり, 行基本変形により

$$I - A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -a \\ 2 & -2 & -a \\ 2 & -2 & -a \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -a/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

とできる. よって固有空間の定義と次元定理より

$$\text{dim}(V_1) = \text{dim} (\text{Ker} (I-A)) = 3 - \text{rank} (I-A) = 3 - 1 = 2$$

と求まる.

(4)

結論: $A$ が対角化不可能であるために $a, b$ がみたすべき必要十分条件は「$(a, b) = (0, 1)$ または $a + 1 = b \neq \pm 1$」である.

理由: 一般に, 正方行列が対角化可能であるための必要十分条件は「各固有値の (固有多項式の根としての) 重複度と固有空間の次元が一致している」ことである.

(2) より $A$ の固有値は $1, a + 1, b$ である. これらの重複とそのときの固有空間の次元を

• (i) $b = 1$ の場合,
• (ii) $b \neq 1$ かつ $a + 1 = 1$ の場合,
• (iii) $b \neq 1$ かつ $a + 1 \neq 1$ の場合

3つの場合にわけて調べる.

まず, (i) $b = 1$ の場合ついて考える. このとき固有値 $1$ の重複度は $2$ 以上であり, (3) より $a$ によらずに $\text{dim}(V_1) = 2$ である. よって $A$ が対角化不可能であるためには固有値 $1$ の重複度が $3$ となることが必要十分であるから $a = 0$ である. つまり $(a, b) = (0, 1)$ のとき $A$ は対角化不可能であることがわかる.

次に, (ii) $b \neq 1$ かつ $a + 1 = 1$ の場合について考える. このとき固有値 $1$ の重複度は $2$ である. (1) の結果より $\text{dim}(V_1) \geq 2$ であるため $A$ は対角化可能である.

最後に, $b \neq 1$ かつ $a + 1 \neq 1$ の場合について考える. $A$ が対角不可能であるためには重複度が $2$ 以上の固有値の存在が必要であるから, $a + 1 = b$ としてよい. このとき

$$A = \begin{pmatrix} -b & b+1 & b-1 \\ -2b & 2b+1 & b-1 \\ -b-1 & b+1 & b \end{pmatrix}, \quad bI - A = \begin{pmatrix} 2b & -b-1 & -b+1 \\ 2b & -b-1 & -b+1 \\ b+1 & -b-1 & 0 \end{pmatrix}$$

である. 簡単な小行列式の計算により, $a + 1 = b$ のもとでの $bI − A$ の階数は

$$\text{rank}(bI - A) = \begin{cases} 1 &(b=\pm 1) \\ 2 &(b \neq \pm 1) \end{cases}$$

であることが確認できるから, 固有空間の定義と次元定理より

$$\text{dim}(V_{a+1}) = \text{dim}(V_b) = \text{dim}(\text{Ker}(bI-A)) = \begin{cases} 2 &(b=\pm 1) \\ 1 &(b \neq \pm 1) \end{cases}$$

となり $a+1=b \neq \pm 1$ のとき A は対角化不可能である.

以上 (i), (ii), (iii) より求める条件は 「$(a, b) = (0, 1)$ または $a + 1 = b \neq \pm 1$」である.