名古屋大学 多元数理科学研究科 2018年8月実施 午前の部 [2]

标签：

• Nagoya-University
• Unitary-Matrix
• Matrix-Diagonalization
• Commuting-Matrices
• Vector-Space-and-Subspace

Author

Miyake

Description

行列

$$T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

に対して次に答えよ．

(1) $U^{-1}TU$ が対角行列になるユニタリ行列 $U$ を求めよ．

(2) $3$ 次の複素行列で $T$ と交換可能な行列全体は $3$ 次元複素ベクトル空間をなすことを示せ．

(3) $3$ 次の複素行列で $T$ および

$$S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

と交換可能な行列をすべて求めよ．答だけでなく根拠も述べること．

题目描述

给定循环置换矩阵

$$T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$$

1. 求酉矩阵 $U$，使 $U^{-1}TU$ 为对角矩阵。
2. 证明所有与 $T$ 可交换的三阶复矩阵构成一个三维复向量空间。
3. 再给定
   $$S=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix},$$
   求全部同时与 $T,S$ 可交换的三阶复矩阵，并说明依据。

考点

• 酉对角化：利用三次单位根及离散 Fourier 型标准正交特征向量对角化循环置换矩阵。
• 矩阵交换子与中心化子：解 $XT=TX$，刻画循环矩阵形式并计算解空间维数。
• 同时可交换约束：结合与对角矩阵 $S$ 可交换所强制的结构，求两个中心化子的交。

Kai

(1)

$T$ の固有値を $t$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -t & 1 & 0 \\ 0 & -t & 1 \\ 1 & 0 & -t \end{pmatrix} \\ &= - t^3 + 1 \\ &= -(t-1)(t^2+t+1) \\ \therefore \ \ t &= 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \\ &= 1, \omega, \omega^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} \right) \end{aligned}$$

である。 固有値 $t=1$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $x=y=z$ を得る。 固有値 $t=\omega$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -\omega & 1 & 0 \\ 0 & -\omega & 1 \\ 1 & 0 & -\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y = \omega x, z = \omega^2 x$ を得る。 固有値 $t=\omega^2$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -\omega^2 & 1 & 0 \\ 0 & -\omega^2 & 1 \\ 1 & 0 & -\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y = \omega^2 x, z = \omega x$ を得る。 そこで、

$$\begin{aligned} U &= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ 1 & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、これはユニタリ行列であり、

$$\begin{aligned} U^{-1} T U &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & \omega^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。

(2)

3次の複素行列

$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を考えると、

$$\begin{aligned} TA &= \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix} \\ AT &= \begin{pmatrix} a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となるので、 $AT=TA$ のとき

$$\begin{aligned} a_{11} = a_{22} = a_{33}, a_{12} = a_{23} = a_{31}, a_{13} = a_{21} = a_{32} \end{aligned}$$

である。 よって、 $T$ と交換可能な任意の行列は適当な複素数 $a,b,c$ を使って

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書け、逆に、このように書ける行列は $T$ と交換可能である。 よって、 $T$ と交換可能な3次の複素行列の全体は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を基底とする3次元複素ベクトル空間をなす。

(3)

3次の複素行列

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を考えると、

$$\begin{aligned} SA &= \begin{pmatrix} a & b & c \\ 2c & 2a & 2b \\ 3b & 3c & 3a \end{pmatrix} \\ AS &= \begin{pmatrix} a & 2b & 3c \\ c & 2a & 3b \\ b & 2c & 3a \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となるので、 $AS=SA$ のとき

$$\begin{aligned} b=c=0 \end{aligned}$$

である。 よって、 $S$ と交換可能な任意の行列は適当な複素数 $a$ を使って

$$\begin{aligned} a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書け、逆に、このように書ける行列は $S$ と交換可能である。 よって、 $T$ および $S$ と交換可能な3次の複素行列の全体は

$$\begin{aligned} a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ ( a \text{ は任意の複素数 } ) \end{aligned}$$

である。