名古屋大学 多元数理科学研究科 2018年8月実施 午前の部 [2]

Author

Miyake

Description

行列

に対して次に答えよ．

(1) が対角行列になるユニタリ行列 を求めよ．

(2) 次の複素行列で と交換可能な行列全体は 次元複素ベクトル空間をなすことを示せ．

(3) 次の複素行列で および

と交換可能な行列をすべて求めよ．答だけでなく根拠も述べること．

Kai

(1)

の固有値を とすると、

である。 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。 そこで、

とおくと、これはユニタリ行列であり、

となる。

(2)

3次の複素行列

を考えると、

となるので、 のとき

である。 よって、 と交換可能な任意の行列は適当な複素数 を使って

と書け、逆に、このように書ける行列は と交換可能である。 よって、 と交換可能な3次の複素行列の全体は

を基底とする3次元複素ベクトル空間をなす。

(3)

3次の複素行列

を考えると、

となるので、 のとき

である。 よって、 と交換可能な任意の行列は適当な複素数 を使って

と書け、逆に、このように書ける行列は と交換可能である。 よって、 および と交換可能な3次の複素行列の全体は

である。