名古屋大学 多元数理科学研究科 2018年8月実施 午前の部 [1]

Author

Miyake

Description

以下の問に答えよ．

(1) の 本のベクトル は 1 次独立であることを示せ．

(2) の 本のベクトル は 1 次独立であることを示せ．

(3) をそれぞれ (1), (2) の 本のベクトルで生成される の部分空間とする． の部分空間 の次元を求めよ．

(4) を (3) のとおりとする． の次元と一組の基底を求めよ．

Kai

(1)

与えられた3本のベクトルからなる行列

は次のように列基本変形できる：

最後の表式の3つの列ベクトルは1次独立なので、 与えられた3本のベクトルは1次独立であることがわかる。

(2)

与えられた3本のベクトルからなる行列

は次のように列基本変形できる：

最後の表式の3つの列ベクトルは1次独立なので、 与えられた3本のベクトルは1次独立であることがわかる。

(3)

(1), (2) から はどちらも3次元であり、 (), () から がわかるので、 は4次元であることがわかる。

(4)

(), () の列ベクトルを使って、 実数 について

が成り立つとすると、

を得る。 を決めると が決まるので、 は2次元であることがわかる。

とすると、 となり、 ベクトル () は

となる。 また、 とすると、 となり、 ベクトル () は

となる。 ここで求めた は の基底である。