名古屋大学 多元数理科学研究科 2018年8月実施 午前の部 [1]

标签：

• Nagoya-University
• Linear-Independence
• Vector-Space-and-Subspace
• Basis-and-Dimension

Author

Miyake

Description

以下の問に答えよ．

(1) $\mathbb{R}^4$ の $3$ 本のベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ は 1 次独立であることを示せ．

(2) $\mathbb{R}^4$ の $3$ 本のベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は 1 次独立であることを示せ．

(3) $V_1, V_2$ をそれぞれ (1), (2) の $3$ 本のベクトルで生成される $\mathbb{R}^4$ の部分空間とする．$\mathbb{R}^4$ の部分空間 $V_1 + V_2$ の次元を求めよ．

(4) $V_1, V_2$ を (3) のとおりとする．$V_1 \cap V_2$ の次元と一組の基底を求めよ．

题目描述

1. 证明 $\mathbb R^4$ 中向量
   $$(1,2,0,1)^\top,\quad(1,0,-2,-1)^\top,\quad(1,1,0,2)^\top$$
   线性无关。
2. 证明 $\mathbb R^4$ 中向量
   $$(1,1,1,1)^\top,\quad(2,3,1,2)^\top,\quad(2,1,-1,0)^\top$$
   线性无关。
3. 分别令 $V_1,V_2$ 为上述两组三向量张成的子空间，求 $\dim(V_1+V_2)$。
4. 求 $\dim(V_1\cap V_2)$ 及 $V_1\cap V_2$ 的一组基。

考点

• 线性无关：通过齐次线性组合或矩阵秩证明两组三向量各自线性无关。
• 子空间的和与交：合并两组生成向量求和空间的秩，并使用维数公式确定交空间维数。
• 基与维数：联立两个子空间的参数表示，构造交空间的一组基。

Kai

(1)

与えられた3本のベクトルからなる行列

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は次のように列基本変形できる：

$$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \nonumber \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \nonumber \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \nonumber \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \tag{i} \end{align}$$

最後の表式の3つの列ベクトルは1次独立なので、 与えられた3本のベクトルは1次独立であることがわかる。

(2)

与えられた3本のベクトルからなる行列

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は次のように列基本変形できる：

$$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \nonumber \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \nonumber \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \nonumber \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \tag{ii} \end{align}$$

最後の表式の3つの列ベクトルは1次独立なので、 与えられた3本のベクトルは1次独立であることがわかる。

(3)

(1), (2) から $V_1, V_2$ はどちらも3次元であり、 ($\text{i}$), ($\text{ii}$) から $V_1 \ne V_2$ がわかるので、 $V_1 + V_2$ は4次元であることがわかる。

(4)

($\text{i}$), ($\text{ii}$) の列ベクトルを使って、 実数 $a,b,c,d,e,f$ について

$$\begin{align} a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\ -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = d \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + e \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \tag{iii} \end{align}$$

が成り立つとすると、

$$\begin{aligned} a=d, b=e, c=f, 2a-b+c=0 \end{aligned}$$

を得る。 $a,b$ を決めると $c,d,e,f$ が決まるので、 $V_1 \cap V_2$ は2次元であることがわかる。

$a=1,b=0$ とすると、 $c=-2,d=1,e=0,f=-2$ となり、 ベクトル ($\text{iii}$) は

$$\begin{aligned} u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。 また、 $a=0,b=1$ とすると、 $c=1,d=0,e=1,f=1$ となり、 ベクトル ($\text{iii}$) は

$$\begin{aligned} v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。 ここで求めた $u,v$ は $V_1 \cap V_2$ の基底である。