名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題5 量子力学

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Author

Miyake

Description

題意の要約。出典：名古屋大学公表問題。

$i^2=-1$ とし、

$$|0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad |1\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad |\varphi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad |\psi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

とする。

1. $X$ が観測量に対応することを示せ。
2. 指数行列 $e^{i\pi X/4}$ を成分で表せ。
3. $|\varphi\rangle$、$|\psi\rangle$ における $X$ の期待値をそれぞれ求めよ。
4. 確率 $p$ で $|\varphi\rangle$、確率 $1-p$ で $|\psi\rangle$ となる量子系の $X$ の期待値を求めよ（$0\le p\le1$）。
5. 二体系の状態 $|\Phi\rangle=(|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle)/\sqrt2$ に対し、$X\otimes X$ の期待値を求めよ。
6. 確率 $p$ で $|0\rangle\otimes|0\rangle$、確率 $1-p$ で $|1\rangle\otimes|1\rangle$ となる二体系で、$X\otimes X$ の期待値を求めよ。

题目描述

令

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad |\varphi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad |\psi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},$$

并令

$$|0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad |1\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

1. 证明 $X$ 可表示量子力学可观测量。
2. 利用 $X^2=I$ 和幂级数计算矩阵指数 $e^{i\frac{\pi}{4}X}.$
3. 分别求 $X$ 在纯态 $|\varphi\rangle$、$|\psi\rangle$ 下的期望值。
4. 系统以概率 $p$（$0\le p\le1$）处于 $|\varphi\rangle$，以概率 $1-p$ 处于 $|\psi\rangle$。写出混合态密度矩阵并求 $X$ 的期望值。
5. 对 Bell 态 $|\Phi\rangle=\frac1{\sqrt2}\bigl(|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle\bigr),$ 求 $X\otimes X$ 的期望值。
6. 二量子比特系统以概率 $p$ 处于 $|0,0\rangle$，以概率 $1-p$ 处于 $|1,1\rangle$。写出该混合态的密度矩阵，并求 $X\otimes X$ 的期望值。

Kai

(1)

$X^\dagger=X$ である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)

$$\begin{aligned} X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \left( = I \text{ とおく } \right) \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} e^{i \frac{\pi}{4} X} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( i \frac{\pi}{4} X \right)^n \\ &= I \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n} + iX \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \\ &= I \cos \frac{\pi}{4} + iX \sin \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} \langle X \rangle_\varphi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 1 \\ \langle X \rangle_\psi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \\ &= 0 \end{aligned}$$

(4)

題意の状態は、密度行列

$$\begin{aligned} \rho_1 &= p | \varphi \rangle \langle \varphi | + (1-p) | \psi \rangle \langle \psi | \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & p-i(1-p) \\ p+i(1-p) & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

で表される混合状態である。 このとき、求める期待値は

$$\begin{aligned} \mathrm{Tr} \left( X \rho_1 \right) &= \frac{1}{2} \mathrm{Tr} \begin{pmatrix} p+i(1-p) & 1 \\ 1 & p-i(1-p) \end{pmatrix} \\ &= p \end{aligned}$$

である。

（あるいは、

$$\begin{aligned} p \langle X \rangle_\varphi + (1-p) \langle X \rangle_\psi &= p \end{aligned}$$

によっても求められる。）

(5)

$$\begin{aligned} | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ | \Phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ X \otimes X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \langle X \otimes X \rangle_\Phi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 1 \end{aligned}$$

である。

(6)

$$\begin{aligned} | 0,0 \rangle = | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | 1,1 \rangle = | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、題意の状態は、密度行列

$$\begin{aligned} \rho_2 &= p | 0,0 \rangle \langle 0,0 | + (1-p) | 1,1 \rangle \langle 1,1 | \\ &= \begin{pmatrix} p & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-p \end{pmatrix} \end{aligned}$$

で表される混合状態である。 このとき、求める期待値は

$$\begin{aligned} \mathrm{Tr} \left( (X \otimes X) \rho_2 \right) &= \mathrm{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-p & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 0 \end{aligned}$$

である。