名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題5 量子力学

标签：

• 名古屋大学
• 泡利矩阵
• 矩阵指数
• 密度矩阵与混合态
• 贝尔态关联
• 张量积、可分性与纠缠

Author

Miyake

Description

$$|0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad |1\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad |\varphi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},$$

$$|\psi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\quad\text{（ただし，}i:=\sqrt{-1}\text{）}$$

とするとき，以下の各問に答えよ．

(1) $X$ が観測量（observable）を表すことを示せ．

(2) 指数行列（matrix exponential）$e^{i\frac\pi4X}$ を2行2列の行列で表せ．

(3) 状態（state）$|\varphi\rangle$ 及び $|\psi\rangle$ に対して，期待値（expectation value）$\langle X\rangle_\varphi:=\langle\varphi|X|\varphi\rangle$ と $\langle X\rangle_\psi:=\langle\psi|X|\psi\rangle$ を求めよ．

(4) 量子系（quantum system）の状態が，ある確率（probability）$p$ で $|\varphi\rangle$，確率 $1-p$ で $|\psi\rangle$ となっている場合を考える．このときの $X$ の期待値を求めよ．

(5) 二体量子系（two-body quantum system）の状態

$$|\Phi\rangle=\frac{|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle}{\sqrt2}$$

を考える．このときの期待値 $\langle X\otimes X\rangle_\Phi:=\langle\Phi|X\otimes X|\Phi\rangle$ を求めよ．

(6) 二体量子系の状態が，ある確率 $p$ で $|0\rangle\otimes|0\rangle$，確率 $1-p$ で $|1\rangle\otimes|1\rangle$ となる場合を考える．このときの $X\otimes X$ の期待値を求めよ．

题目描述

设

$$|0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad |1\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad |\varphi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},$$

$$|\psi\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad i:=\sqrt{-1}.$$

回答下列问题。

(1) 证明 $X$ 表示可观测量。

(2) 将指数矩阵 $e^{i\frac\pi4X}$ 表示为 $2\times2$ 矩阵。

(3) 对状态 $|\varphi\rangle,|\psi\rangle$，求期望值 $\langle X\rangle_\varphi:=\langle\varphi|X|\varphi\rangle$ 和 $\langle X\rangle_\psi:=\langle\psi|X|\psi\rangle$。

(4) 考虑量子系统以概率 $p$ 处于 $|\varphi\rangle$、以概率 $1-p$ 处于 $|\psi\rangle$ 的情况。求此时 $X$ 的期望值。

(5) 考虑二体量子系统的状态

$$|\Phi\rangle=\frac{|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle}{\sqrt2},$$

求期望值 $\langle X\otimes X\rangle_\Phi:=\langle\Phi|X\otimes X|\Phi\rangle$。

(6) 考虑二体量子系统以概率 $p$ 处于 $|0\rangle\otimes|0\rangle$、以概率 $1-p$ 处于 $|1\rangle\otimes|1\rangle$ 的情况，求此时 $X\otimes X$ 的期望值。

Kai

(1)

$X^\dagger=X$ である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)

$$\begin{aligned} X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \left( = I \text{ とおく } \right) \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} e^{i \frac{\pi}{4} X} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( i \frac{\pi}{4} X \right)^n \\ &= I \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n} + iX \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \\ &= I \cos \frac{\pi}{4} + iX \sin \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} \langle X \rangle_\varphi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 1 \\ \langle X \rangle_\psi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \\ &= 0 \end{aligned}$$

(4)

題意の状態は、密度行列

$$\begin{aligned} \rho_1 &= p | \varphi \rangle \langle \varphi | + (1-p) | \psi \rangle \langle \psi | \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & p-i(1-p) \\ p+i(1-p) & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

で表される混合状態である。 このとき、求める期待値は

$$\begin{aligned} \mathrm{Tr} \left( X \rho_1 \right) &= \frac{1}{2} \mathrm{Tr} \begin{pmatrix} p+i(1-p) & 1 \\ 1 & p-i(1-p) \end{pmatrix} \\ &= p \end{aligned}$$

である。

（あるいは、

$$\begin{aligned} p \langle X \rangle_\varphi + (1-p) \langle X \rangle_\psi &= p \end{aligned}$$

によっても求められる。）

(5)

$$\begin{aligned} | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\\ | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ | \Phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ X \otimes X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \langle X \otimes X \rangle_\Phi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 1 \end{aligned}$$

である。

(6)

$$\begin{aligned} | 0,0 \rangle = | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | 1,1 \rangle = | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、題意の状態は、密度行列

$$\begin{aligned} \rho_2 &= p | 0,0 \rangle \langle 0,0 | + (1-p) | 1,1 \rangle \langle 1,1 | \\ &= \begin{pmatrix} p & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-p \end{pmatrix} \end{aligned}$$

で表される混合状態である。 このとき、求める期待値は

$$\begin{aligned} \mathrm{Tr} \left( (X \otimes X) \rho_2 \right) &= \mathrm{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-p & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 0 \end{aligned}$$

である。

Reference

• 公式問題（PDF）