名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題1 線形代数

标签：

• 名古屋大学
• 克罗内克积
• 特征值与特征向量

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

$\boldsymbol v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ と $\boldsymbol w=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}$ を任意の2次元実ベクトル（すなわち $v_1,v_2,w_1,w_2\in\mathbb R$）とする．クロネッカー積（Kronecker product）$\otimes$ を

$$\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w=\begin{pmatrix}v_1\boldsymbol w\\v_2\boldsymbol w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1w_1\\v_1w_2\\v_2w_1\\v_2w_2\end{pmatrix}$$

と定義する．以下の各問に答えよ．

(1) クロネッカー積は双線形性（bilinearity）をもつこと，すなわち，次の条件

$$\begin{aligned} (\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2)\otimes\boldsymbol w&=\boldsymbol v_1\otimes\boldsymbol w+\boldsymbol v_2\otimes\boldsymbol w\\ \boldsymbol v\otimes(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2)&=\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_1+\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_2\\ (a\boldsymbol v)\otimes\boldsymbol w&=\boldsymbol v\otimes(a\boldsymbol w)=a(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w) \end{aligned}$$

をすべての $\boldsymbol v,\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol w,\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2\in\mathbb R^2,\ a\in\mathbb R$ に対して満たすことを示せ．

(2) クロネッカー積の定義を拡張して，任意の2次元実正方行列

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}$$

に対して，$A\otimes B$ を

$$\begin{aligned} A\otimes B&=\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B\\a_{21}B&a_{22}B\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}\\ a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&a_{22}b_{11}&a_{22}b_{12}\\ a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と定義すると，すべての2次元実ベクトル $\boldsymbol v,\boldsymbol w$ に対して

$$(A\otimes B)(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w)=A\boldsymbol v\otimes B\boldsymbol w$$

が成り立つことが簡単な計算で分かる．このことを用いて，$\boldsymbol v$ が $\alpha$ を固有値（eigenvalue）にもつ $A$ の固有ベクトル（eigenvector），$\boldsymbol w$ が $\beta$ を固有値にもつ $B$ の固有ベクトルとすると，$\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w$ が $\alpha\beta$ を固有値にもつ $A\otimes B$ の固有ベクトルとなることを示せ．

(3) 実行列

$$M=\begin{pmatrix}6&2&3&1\\2&6&1&3\\3&1&6&2\\1&3&2&6\end{pmatrix}$$

の固有値と固有ベクトルを全て求めよ．

题目描述

设 $\boldsymbol v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ 与 $\boldsymbol w=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}$ 为任意二维实向量，即 $v_1,v_2,w_1,w_2\in\mathbb R$。克罗内克积 $\otimes$ 定义为

$$\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w=\begin{pmatrix}v_1\boldsymbol w\\v_2\boldsymbol w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1w_1\\v_1w_2\\v_2w_1\\v_2w_2\end{pmatrix}.$$

回答下列问题。

(1) 证明克罗内克积具有双线性，即对所有 $\boldsymbol v,\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol w,\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2\in\mathbb R^2$ 和 $a\in\mathbb R$，满足

$$\begin{aligned} (\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2)\otimes\boldsymbol w&=\boldsymbol v_1\otimes\boldsymbol w+\boldsymbol v_2\otimes\boldsymbol w,\\ \boldsymbol v\otimes(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2)&=\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_1+\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_2,\\ (a\boldsymbol v)\otimes\boldsymbol w&=\boldsymbol v\otimes(a\boldsymbol w)=a(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w). \end{aligned}$$

(2) 扩展克罗内克积的定义，对任意实二阶方阵

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix},$$

定义

$$\begin{aligned} A\otimes B&=\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B\\a_{21}B&a_{22}B\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}\\ a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&a_{22}b_{11}&a_{22}b_{12}\\ a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

通过简单计算可知，对所有二维实向量 $\boldsymbol v,\boldsymbol w$，成立

$$(A\otimes B)(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w)=A\boldsymbol v\otimes B\boldsymbol w.$$

利用此性质证明：若 $\boldsymbol v$ 为 $A$ 对应特征值 $\alpha$ 的特征向量，$\boldsymbol w$ 为 $B$ 对应特征值 $\beta$ 的特征向量，则 $\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w$ 为 $A\otimes B$ 对应特征值 $\alpha\beta$ 的特征向量。

(3) 求实矩阵

$$M=\begin{pmatrix}6&2&3&1\\2&6&1&3\\3&1&6&2\\1&3&2&6\end{pmatrix}$$

的所有特征值和特征向量。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書くと、

$$\begin{aligned} \left( \boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2 \right) \otimes \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} (x_1+y_1) \boldsymbol{w} \\ (x_2+y_2) \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x_1 \boldsymbol{w} \\ x_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \boldsymbol{w} \\ y_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w} + \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w} \end{aligned}$$

がわかる。

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v} \otimes \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) &= \begin{pmatrix} v_1 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \\ v_2 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_1 \\ v_2 \boldsymbol{w}_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_2 \\ v_2 \boldsymbol{w}_2 \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} \alpha v_1 \boldsymbol{w} \\ \alpha v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \\ \boldsymbol{v} \otimes \left( \alpha \boldsymbol{w} \right) &= \begin{pmatrix} v_1 \alpha \boldsymbol{w} \\ v_2 \alpha \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \left( A \otimes B \right) \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) &= \left( A \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( B \boldsymbol{w} \right) \\ &= \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( \beta \boldsymbol{w} \right) \\ &= \alpha \beta \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \end{aligned}$$

また、両固有ベクトルは非零なので、その非零成分の積を成分にもつ $\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w$ も非零である。従って、 $\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}$ は $\alpha \beta$ を固有値にもつ $A \otimes B$ の固有ベクトルであることがわかる。

(3)

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} , \ \ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} M = A \otimes B \end{aligned}$$

である。

$A$ の固有値は $\alpha_1 = 1, \alpha_2 = 3$ であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 また、 $B$ の固有値は $\beta_1 = 2, \beta_2 = 4$ であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

よって、 (2) より、 $\alpha_1 \beta_1 = 2, \alpha_1 \beta_2 = 4, \alpha_2 \beta_1 = 6, \alpha_2 \beta_2 = 12$ は $M$ の固有値であり、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

はそれぞれに属する固有ベクトルであることがわかる。 $M$ は 4次正方行列で上の固有値は相異なるので、これら以外に固有値はなく、各固有空間は上のベクトルで生成される。

Reference

• 公式問題（PDF）