名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題1 線形代数

标签：

• Nagoya-University
• Kronecker-Product-and-Eigenvalues
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答整理。

1. 对二维向量 $\boldsymbol v,\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ 与向量 $\boldsymbol w,\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2$，以及标量 $\alpha$，根据张量积的分量定义证明双线性：
   $$(\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2)\otimes\boldsymbol w =\boldsymbol v_1\otimes\boldsymbol w+\boldsymbol v_2\otimes\boldsymbol w,$$
   $$\boldsymbol v\otimes(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2) =\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_1+\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_2,$$
   $$(\alpha\boldsymbol v)\otimes\boldsymbol w =\boldsymbol v\otimes(\alpha\boldsymbol w) =\alpha(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w).$$
2. 若 $A\boldsymbol v=\alpha\boldsymbol v$ 且 $B\boldsymbol w=\beta\boldsymbol w$，证明 $\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w$ 是 $A\otimes B$ 的特征向量，其特征值为 $\alpha\beta$。
3. 令
   $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix},\qquad M=A\otimes B.$$
   求四阶矩阵 $M$ 的全部特征值及相应特征向量。

考点

• 张量积：掌握向量与矩阵 Kronecker 积的分量定义。
• 双线性：证明张量积对两个因子分别满足加法与数乘分配律。
• Kronecker 积的谱：由两个因子矩阵的特征对构造积矩阵的特征对。
• 特征值与特征向量：求二阶对称矩阵的谱并组合成四阶矩阵的完整谱。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書くと、

$$\begin{aligned} \left( \boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2 \right) \otimes \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} (x_1+y_1) \boldsymbol{w} \\ (x_2+y_2) \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x_1 \boldsymbol{w} \\ x_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \boldsymbol{w} \\ y_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w} + \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w} \end{aligned}$$

がわかる。

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v} \otimes \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) &= \begin{pmatrix} v_1 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \\ v_2 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_1 \\ v_2 \boldsymbol{w}_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_2 \\ v_2 \boldsymbol{w}_2 \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} \alpha v_1 \boldsymbol{w} \\ \alpha v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \\ \boldsymbol{v} \otimes \left( \alpha \boldsymbol{w} \right) &= \begin{pmatrix} v_1 \alpha \boldsymbol{w} \\ v_2 \alpha \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \left( A \otimes B \right) \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) &= \left( A \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( B \boldsymbol{w} \right) \\ &= \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( \beta \boldsymbol{w} \right) \\ &= \alpha \beta \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \end{aligned}$$

なので、 $\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}$ は $\alpha \beta$ を固有値にもつ $A \otimes B$ の固有ベクトルであることがわかる。

(3)

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} , \ \ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} M = A \otimes B \end{aligned}$$

である。

$A$ の固有値は $\alpha_1 = 1, \alpha_2 = 3$ であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 また、 $B$ の固有値は $\beta_1 = 2, \beta_2 = 4$ であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

よって、 (2) より、 $\alpha_1 \beta_1 = 2, \alpha_1 \beta_2 = 4, \alpha_2 \beta_1 = 6, \alpha_2 \beta_2 = 12$ は $M$ の固有値であり、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

はそれぞれに属する固有ベクトルであることがわかる。 $M$ は 4次正方行列なので、これら以外に固有値・固有ベクトルはない （固有ベクトルの実数倍の不定性は除く）。