名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題1 線形代数

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• Nagoya-University
• Kronecker-Product-and-Eigenvalues
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約。出典：名古屋大学公表問題。

実列ベクトル $\boldsymbol v=(v_1,v_2)^T$、$\boldsymbol w=(w_1,w_2)^T$ のクロネッカー積を

$$\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w =(v_1w_1,v_1w_2,v_2w_1,v_2w_2)^T$$

で定義する。

1. 任意の $\boldsymbol v,\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol w,\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2\in\mathbb R^2$ と $a\in\mathbb R$ について、次の双線形性を示せ。

   $$(\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2)\otimes\boldsymbol w =\boldsymbol v_1\otimes\boldsymbol w+\boldsymbol v_2\otimes\boldsymbol w,$$
   $$\boldsymbol v\otimes(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2) =\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_1+\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_2,$$
   $$(a\boldsymbol v)\otimes\boldsymbol w =\boldsymbol v\otimes(a\boldsymbol w)=a(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w).$$

2. 実 $2\times2$ 行列 $A=(a_{ij}),B$ に対し、$A\otimes B$ をブロック行列

   $$A\otimes B=\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B\\a_{21}B&a_{22}B\end{pmatrix}$$

   と定義する。$(A\otimes B)(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w)=(A\boldsymbol v)\otimes(B\boldsymbol w)$ を用い、$A\boldsymbol v=\alpha\boldsymbol v$、$B\boldsymbol w=\beta\boldsymbol w$ を満たす固有ベクトルの積が、固有値 $\alpha\beta$ の固有ベクトルになることを示せ。

3. 次の実行列の固有値と固有ベクトルを全て求めよ。

   $$M=\begin{pmatrix}6&2&3&1\\2&6&1&3\\3&1&6&2\\1&3&2&6\end{pmatrix}.$$

题目描述

对实列向量 $\boldsymbol v=(v_1,v_2)^T$、$\boldsymbol w=(w_1,w_2)^T$，定义 $\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w=(v_1w_1,v_1w_2,v_2w_1,v_2w_2)^T$。对实二阶矩阵定义 $A\otimes B=\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B\\a_{21}B&a_{22}B\end{pmatrix}$。

1. 对二维实向量 $\boldsymbol v,\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ 与向量 $\boldsymbol w,\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2$，以及实标量 $\alpha$，根据张量积的分量定义证明双线性：

   $$(\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2)\otimes\boldsymbol w =\boldsymbol v_1\otimes\boldsymbol w+\boldsymbol v_2\otimes\boldsymbol w,$$
   $$\boldsymbol v\otimes(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2) =\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_1+\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w_2,$$
   $$(\alpha\boldsymbol v)\otimes\boldsymbol w =\boldsymbol v\otimes(\alpha\boldsymbol w) =\alpha(\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w).$$

2. 若非零向量 $\boldsymbol v,\boldsymbol w$ 满足 $A\boldsymbol v=\alpha\boldsymbol v$ 且 $B\boldsymbol w=\beta\boldsymbol w$，证明 $\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w$ 是 $A\otimes B$ 的特征向量，其特征值为 $\alpha\beta$。

3. 求实矩阵

   $$M=\begin{pmatrix}6&2&3&1\\2&6&1&3\\3&1&6&2\\1&3&2&6\end{pmatrix}$$

   的全部特征值及相应特征向量。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書くと、

$$\begin{aligned} \left( \boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2 \right) \otimes \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} (x_1+y_1) \boldsymbol{w} \\ (x_2+y_2) \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x_1 \boldsymbol{w} \\ x_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \boldsymbol{w} \\ y_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w} + \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w} \end{aligned}$$

がわかる。

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v} \otimes \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) &= \begin{pmatrix} v_1 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \\ v_2 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_1 \\ v_2 \boldsymbol{w}_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_2 \\ v_2 \boldsymbol{w}_2 \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} \alpha v_1 \boldsymbol{w} \\ \alpha v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \\ \boldsymbol{v} \otimes \left( \alpha \boldsymbol{w} \right) &= \begin{pmatrix} v_1 \alpha \boldsymbol{w} \\ v_2 \alpha \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \left( A \otimes B \right) \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) &= \left( A \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( B \boldsymbol{w} \right) \\ &= \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( \beta \boldsymbol{w} \right) \\ &= \alpha \beta \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right) \end{aligned}$$

また、両固有ベクトルは非零なので、その非零成分の積を成分にもつ $\boldsymbol v\otimes\boldsymbol w$ も非零である。従って、 $\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}$ は $\alpha \beta$ を固有値にもつ $A \otimes B$ の固有ベクトルであることがわかる。

(3)

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} , \ \ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} M = A \otimes B \end{aligned}$$

である。

$A$ の固有値は $\alpha_1 = 1, \alpha_2 = 3$ であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 また、 $B$ の固有値は $\beta_1 = 2, \beta_2 = 4$ であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

よって、 (2) より、 $\alpha_1 \beta_1 = 2, \alpha_1 \beta_2 = 4, \alpha_2 \beta_1 = 6, \alpha_2 \beta_2 = 12$ は $M$ の固有値であり、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

はそれぞれに属する固有ベクトルであることがわかる。 $M$ は 4次正方行列で上の固有値は相異なるので、これら以外に固有値はなく、各固有空間は上のベクトルで生成される。