名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2021年8月実施 問題6 量子力学

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• 量子态时间演化
• 泡利矩阵
• 量子可观测量的期望与方差

Author

Miyake

Description

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad U(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}$$

（ただし，$t\ge0$）とするとき，以下の各問に答えよ．

(1) $X$ が観測量（observable）を表すことを示せ．

(2) 閉じた量子系 $Q$ が時刻 $t=0$ で状態 $|\psi_0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ にあるとする．任意の $\tau\ge0$ に対して，$U(\tau)$ は時刻 $t=0$ から時刻 $t=\tau\ge0$ までの $Q$ の時間発展（time evolution）を表す行列とする．このとき，任意の時刻 $t=\tau\ge0$ での系 $Q$ の状態 $|\psi_\tau\rangle$ を成分で記述せよ．

(3) 任意の時刻 $t=\tau\ge0$ に対して，期待値（expectation value）$\langle X\rangle_\tau:=\langle\psi_\tau|X|\psi_\tau\rangle$ を求めよ．

(4) 任意の時刻 $t=\tau\ge0$ に対して，バリアンス（variance）$\sigma_\tau^2(X):=\langle X^2\rangle_\tau-(\langle X\rangle_\tau)^2$ を求めよ．

(5) バリアンス $\sigma_\tau^2(X)$ が最小となる最初の時刻 $\tau^*\ge0$ を求めよ．

题目描述

设

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad U(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}\quad(t\ge0).$$

回答下列问题。

(1) 证明 $X$ 表示可观测量。

(2) 设封闭量子系统 $Q$ 在时刻 $t=0$ 处于状态 $|\psi_0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$。对任意 $\tau\ge0$，$U(\tau)$ 是表示系统 $Q$ 从时刻 $t=0$ 到 $t=\tau\ge0$ 的时间演化的矩阵。用分量表示系统 $Q$ 在任意时刻 $t=\tau\ge0$ 的状态 $|\psi_\tau\rangle$。

(3) 对任意时刻 $t=\tau\ge0$，求期望值 $\langle X\rangle_\tau:=\langle\psi_\tau|X|\psi_\tau\rangle$。

(4) 对任意时刻 $t=\tau\ge0$，求方差 $\sigma_\tau^2(X):=\langle X^2\rangle_\tau-(\langle X\rangle_\tau)^2$。

(5) 求使方差 $\sigma_\tau^2(X)$ 达到最小值的最早时刻 $\tau^*\ge0$。

Kai

(1)

$X^\dagger=X$ である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)

$$\begin{aligned} \left| \psi_\tau \right\rangle &= U(\tau) \left| \psi_0 \right\rangle \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau & - \sin \tau \\ \sin \tau & \cos \tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau \\ \sin \tau \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \left\langle X \right\rangle_\tau &= \left\langle \psi_\tau \right| X \left| \psi_\tau \right\rangle \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau & \sin \tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \tau \\ \sin \tau \end{pmatrix} \\ &= 2 \sin \tau \cos \tau \\ &= \sin 2 \tau \end{aligned}$$

(4)

$X^2$ は単位行列であるから、

$$\begin{aligned} \left\langle X^2 \right\rangle_\tau &= \left\langle \psi_\tau | \psi_\tau \right\rangle \\ &= 1 \\ \therefore \ \ \sigma^2_\tau (X) &= \left\langle X^2 \right\rangle_\tau - \left\langle X \right\rangle_\tau^2 \\ &= 1 - \sin^2 2 \tau \end{aligned}$$

(5)

分散は $\cos^2(2\tau)\ge0$ であり、$\tau=\pi/4+k\pi/2$（$k=0,1,2,\ldots$）で零となる。従って最初の時刻は

$$\begin{aligned} \tau^* = \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

Reference

• 公式問題（PDF）