名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2021年8月実施 問題6 量子力学

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• Pauli-Matrices
• Quantum-Observable-Expectation-and-Variance

Author

Miyake

Description

題意の要約。出典：名古屋大学公表問題。

$t\ge0$ に対して

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad U(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}$$

とする。

1. $X$ が観測量を表すことを示せ。
2. 閉じた量子系の時刻 $0$ の状態が $|\psi_0\rangle=(1,0)^T$ であり、$U(\tau)$ は時刻 $0$ から $\tau\ge0$ への時間発展を表す。$|\psi_\tau\rangle$ の成分を求めよ。
3. $\langle X\rangle_\tau=\langle\psi_\tau|X|\psi_\tau\rangle$ を求めよ。
4. 分散 $\sigma_\tau^2(X)=\langle X^2\rangle_\tau-\langle X\rangle_\tau^2$ を求めよ。
5. この分散が最小値をとる最初の時刻 $\tau^*\ge0$ を求めよ。

题目描述

考虑初态、演化矩阵和 Pauli $X$：

$$|\psi_0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad U(\tau)=\begin{pmatrix}\cos\tau&-\sin\tau\\\sin\tau&\cos\tau\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$

1. 证明 $X$ 可表示量子力学可观测量。
2. 求演化后的状态 $|\psi_\tau\rangle=U(\tau)|\psi_0\rangle$。
3. 求 $X$ 在状态 $|\psi_\tau\rangle$ 下的期望值 $\langle X\rangle_\tau$。
4. 求 $X$ 的方差 $\sigma_\tau^2(X)=\langle X^2\rangle_\tau-\langle X\rangle_\tau^2.$
5. 求使方差最小的最早非负时刻 $\tau^*$。

Kai

(1)

$X^\dagger=X$ である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)

$$\begin{aligned} \left| \psi_\tau \right\rangle &= U(\tau) \left| \psi_0 \right\rangle \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau & - \sin \tau \\ \sin \tau & \cos \tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau \\ \sin \tau \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \left\langle X \right\rangle_\tau &= \left\langle \psi_\tau \right| X \left| \psi_\tau \right\rangle \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau & \sin \tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \tau \\ \sin \tau \end{pmatrix} \\ &= 2 \sin \tau \cos \tau \\ &= \sin 2 \tau \end{aligned}$$

(4)

$X^2$ は単位行列であるから、

$$\begin{aligned} \left\langle X^2 \right\rangle_\tau &= \left\langle \psi_\tau | \psi_\tau \right\rangle \\ &= 1 \\ \therefore \ \ \sigma^2_\tau (X) &= \left\langle X^2 \right\rangle_\tau - \left\langle X \right\rangle_\tau^2 \\ &= 1 - \sin^2 2 \tau \end{aligned}$$

(5)

分散は $\cos^2(2\tau)\ge0$ であり、$\tau=\pi/4+k\pi/2$（$k=0,1,2,\ldots$）で零となる。従って最初の時刻は

$$\begin{aligned} \tau^* = \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$