名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2021年8月実施 問題6 量子力学

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• Nagoya-University
• Quantum-State-Time-Evolution
• Pauli-Matrices
• Quantum-Observable-Expectation-and-Variance

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答整理。考虑初态、演化矩阵和 Pauli $X$：

$$|\psi_0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad U(\tau)=\begin{pmatrix}\cos\tau&-\sin\tau\\\sin\tau&\cos\tau\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$

1. 第 (1) 问的题干与解答均缺失。
2. 求演化后的状态 $|\psi_\tau\rangle=U(\tau)|\psi_0\rangle$。
3. 求 $X$ 在状态 $|\psi_\tau\rangle$ 下的期望值 $\langle X\rangle_\tau$。
4. 求 $X$ 的方差 $\sigma_\tau^2(X)=\langle X^2\rangle_\tau-\langle X\rangle_\tau^2.$
5. 原题要求按某一最优化条件确定 $\tau^*$，但该条件未保留；现有解答给出 $\tau^*=\pi/4$。

考点

• 二维量子态演化：执行旋转矩阵与初态向量的乘法。
• Pauli 测量：通过 $\langle\psi|X|\psi\rangle$ 计算期望值。
• 测量方差：利用 $X^2=I$ 化简二阶矩。
• 三角函数优化：由 $\sin 2\tau$ 及 $1-\sin^2 2\tau$ 判断期望或方差的极值位置。

Kai

(1)

(2)

$$\begin{aligned} \left| \psi_\tau \right\rangle &= U(\tau) \left| \psi_0 \right\rangle \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau & - \sin \tau \\ \sin \tau & \cos \tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau \\ \sin \tau \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \left\langle X \right\rangle_\tau &= \left\langle \psi_\tau \right| X \left| \psi_\tau \right\rangle \\ &= \begin{pmatrix} \cos \tau & \sin \tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \tau \\ \sin \tau \end{pmatrix} \\ &= 2 \sin \tau \cos \tau \\ &= \sin 2 \tau \end{aligned}$$

(4)

$X^2$ は単位行列であるから、

$$\begin{aligned} \left\langle X^2 \right\rangle_\tau &= \left\langle \psi_\tau | \psi_\tau \right\rangle \\ &= 1 \\ \therefore \ \ \sigma^2_\tau (X) &= \left\langle X^2 \right\rangle_\tau - \left\langle X \right\rangle_\tau^2 \\ &= 1 - \sin^2 2 \tau \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} \tau^* = \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$