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名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2019年8月実施 問題6 量子力学

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Author​

Miyake

Description​

ベクトル v=(x,y,z)∈R3\boldsymbol v=(x,y,z)\in\mathbb R^3（ただし x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1）とベクトル σ=(X,Y,Z)\boldsymbol\sigma=(X,Y,Z)（ただし

X=(0110),Y=(0−ii0),Z=(100−1)X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

であり，i=−1i=\sqrt{-1} は虚数単位である）と置く．

(1) 演算子 v⋅σ=xX+yY+zZ\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma=xX+yY+zZ が観測量（observable）であることを示せ．

(2) II が単位行列を表すとする．すべての n∈Nn\in\mathbb N に対して，(v⋅σ)2n=I(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma)^{2n}=I と (v⋅σ)2n+1=v⋅σ(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma)^{2n+1}=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma を示せ．

(3) 上記の関係を用いて，eitv⋅σ=(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⋅σe^{it\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma}=(\cos t)I+(i\sin t)\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma（tt は任意の実数）を示せ．

(4) Ut=eitv⋅σU_t=e^{it\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma} が，すべての t∈Rt\in\mathbb R に対して，ユニタリー行列であることを示せ．

(5) ∣ψ⟩|\psi\rangle を +1+1 を固有値にもつ ZZ の固有状態とする．∣ψt⟩|\psi_t\rangle を時間発展させた状態 Ut∣ψ⟩U_t|\psi\rangle とする．バリアンス（variance）

σ(Z,t)2:=⟨ψt∣Z2∣ψt⟩−⟨ψt∣Z∣ψt⟩2\sigma(Z,t)^2:=\langle\psi_t|Z^2|\psi_t\rangle-\langle\psi_t|Z|\psi_t\rangle^2

を zz と tt を用いて表せ．

题目描述​

令向量 v=(x,y,z)∈R3\boldsymbol v=(x,y,z)\in\mathbb R^3，其中 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1；令 σ=(X,Y,Z)\boldsymbol\sigma=(X,Y,Z)，其中

X=(0110),Y=(0−ii0),Z=(100−1),X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},

i=−1i=\sqrt{-1} 为虚数单位。

(1) 证明算符 v⋅σ=xX+yY+zZ\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma=xX+yY+zZ 是可观测量。

(2) 设 II 为单位矩阵。对所有 n∈Nn\in\mathbb N，证明 (v⋅σ)2n=I(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma)^{2n}=I 和 (v⋅σ)2n+1=v⋅σ(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma)^{2n+1}=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma。

(3) 利用上述关系，证明对于任意实数 tt，有 eitv⋅σ=(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⋅σe^{it\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma}=(\cos t)I+(i\sin t)\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma。

(4) 证明对所有 t∈Rt\in\mathbb R，Ut=eitv⋅σU_t=e^{it\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\sigma} 是酉矩阵。

(5) 设 ∣ψ⟩|\psi\rangle 为 ZZ 对应特征值 +1+1 的本征态，将时间演化后的状态 Ut∣ψ⟩U_t|\psi\rangle 记为 ∣ψt⟩|\psi_t\rangle。用 z,tz,t 表示方差

σ(Z,t)2:=⟨ψt∣Z2∣ψt⟩−⟨ψt∣Z∣ψt⟩2.\sigma(Z,t)^2:=\langle\psi_t|Z^2|\psi_t\rangle-\langle\psi_t|Z|\psi_t\rangle^2.

Kai​

(1)​

x,y,zx,y,z が実数で、X,Y,ZX,Y,Z はエルミート行列なので、(xX+yY+zZ)†=xX+yY+zZ(xX+yY+zZ)^\dagger=xX+yY+zZ が成り立つ。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)​

(v⃗⋅σ⃗)2=(zx−iyx+iy−z)2=(x2+y2+z200x2+y2+z2)=I \begin{aligned} \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^2 &= \begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}^2 \\ &= \begin{pmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2+z^2 \end{pmatrix} \\ &= I \end{aligned}

であるから、すべての n∈Nn \in \mathbb{N} に対して、

(v⃗⋅σ⃗)2n=I,    (v⃗⋅σ⃗)2n+1=v⃗⋅σ⃗ \begin{aligned} \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n} = I , \ \ \ \ \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n+1} = \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}

が成り立つ。

(3)​

eitv⃗⋅σ⃗=∑k=0∞1k!(itv⃗⋅σ⃗)k=(1−12!t2+14!t4−⋯ )I+i(t−13!t3+15!t5−⋯ )v⃗⋅σ⃗=(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗\begin{aligned} e^{i t \vec{v} \cdot \vec{\sigma}} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left( it \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^k \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{4!} t^4 - \cdots \right) I \\ &\quad+ i \left( t - \frac{1}{3!} t^3 + \frac{1}{5!} t^5 - \cdots \right) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \\ &= (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}

(4)​

(v⃗⋅σ⃗)†=v⃗⋅σ⃗(\vec{v} \cdot \vec{\sigma})^\dagger = \vec{v} \cdot \vec{\sigma} であるから、 すべての t∈Rt \in \mathbb{R} に対して、

Ut†=(cos⁡t)I−(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗ \begin{aligned} U_t^\dagger &= (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}

であり、

UtUt†={(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗}{(cos⁡t)I−(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗}=I \begin{aligned} U_t U_t^\dagger &= \left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \left\{ (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \\ &= I \end{aligned}

であるから、 UtU_t はユニタリー行列である。

(5)​

∣ψ⟩=(10)∣ψt⟩=Ut∣ψ⟩={(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗}∣ψ⟩=cos⁡t(10)+isin⁡t(zx+iy)=(cos⁡t+izsin⁡t(ix−y)sin⁡t)\begin{aligned} \left| \psi \right\rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \left| \psi_t \right\rangle &= U_t \left| \psi \right\rangle \\ &= \left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \left| \psi \right\rangle \\ &= \cos t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + i \sin t \begin{pmatrix} z \\ x+iy \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t \end{pmatrix} \end{aligned}

であるから、

⟨ψt∣Z∣ψt⟩=⟨ψt∣(100−1)(cos⁡t+izsin⁡t(ix−y)sin⁡t)=(cos⁡t−izsin⁡t(−ix−y)sin⁡t)(cos⁡t+izsin⁡t(−ix+y)sin⁡t)=cos⁡2t+z2sin⁡2t−(x2+y2)sin⁡2t=cos⁡2t+(2z2−1)sin⁡2t\begin{aligned} \left\langle \psi_t \right| Z \left| \psi_t \right\rangle &= \left\langle \psi_t \right| \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos t - iz \sin t & (-ix-y) \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (-ix+y) \sin t \end{pmatrix} \\ &= \cos^2 t + z^2 \sin^2 t - (x^2 + y^2) \sin^2 t \\ &= \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \end{aligned}

である。 また、 Z2=IZ^2=I であるから、

⟨ψt∣Z2∣ψt⟩=⟨ψ∣Ut†Ut∣ψ⟩=⟨ψ∣ψ⟩=1\begin{aligned} \left\langle \psi_t \right| Z^2 \left| \psi_t \right\rangle &= \left\langle \psi \right| U_t^\dagger U_t \left| \psi \right\rangle \\ &= \langle \psi | \psi \rangle \\ &= 1 \end{aligned}

である。 よって、

σ(Z,t)2=1−{cos⁡2t+(2z2−1)sin⁡2t}2\begin{aligned} \sigma(Z,t)^2 &= 1 - \left\{ \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \right\}^2 \end{aligned}

を得る。

Reference​

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