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名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2019年8月実施 問題6 量子力学

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答整理。令

v⃗=(x,y,z),x2+y2+z2=1,\vec v=(x,y,z),\qquad x^2+y^2+z^2=1,

并以 Pauli 矩阵向量 σ⃗=(X,Y,Z)\vec\sigma=(X,Y,Z) 定义

v⃗⋅σ⃗=(zx−iyx+iy−z),Ut=eitv⃗⋅σ⃗.\vec v\cdot\vec\sigma= \begin{pmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\end{pmatrix}, \qquad U_t=e^{it\vec v\cdot\vec\sigma}.
  1. 第 (1) 问的题干与解答均缺失。
  2. 证明 (v⃗⋅σ⃗)2=I(\vec v\cdot\vec\sigma)^2=I，并求其任意偶数次幂与奇数次幂。
  3. 展开矩阵指数，证明 Ut=(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗.U_t=(\cos t)I+(i\sin t)\vec v\cdot\vec\sigma.
  4. 对任意实数 tt，证明 UtU_t 是酉矩阵。
  5. 初态为 ∣ψ⟩=(10),|\psi\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, 演化后 ∣ψt⟩=Ut∣ψ⟩|\psi_t\rangle=U_t|\psi\rangle。求 ∣ψt⟩|\psi_t\rangle，并求可观测量 ZZ 在该态下的期望及方差 σ(Z,t)2\sigma(Z,t)^2。

考点​

  • Pauli 矩阵代数：利用单位向量条件化简 v⃗⋅σ⃗\vec v\cdot\vec\sigma 的平方和高次幂。
  • 矩阵指数：将幂级数按奇偶项分组得到三角函数形式。
  • 酉演化：由 UtUt†=IU_tU_t^\dagger=I 验证量子演化保持范数。
  • 量子期望与方差：计算演化态中 ZZ 的一阶、二阶矩。

Kai​

(1)​

(2)​

(v⃗⋅σ⃗)2=(zx−iyx+iy−z)2=(x2+y2+z200x2+y2+z2)=I \begin{aligned} \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^2 &= \begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}^2 \\ &= \begin{pmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2+z^2 \end{pmatrix} \\ &= I \end{aligned}

であるから、すべての n∈Nn \in \mathbb{N} に対して、

(v⃗⋅σ⃗)2n=I,    (v⃗⋅σ⃗)2n+1=v⃗⋅σ⃗ \begin{aligned} \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n} = I , \ \ \ \ \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n+1} = \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}

が成り立つ。

(3)​

eitv⃗⋅σ⃗=∑k=0∞1k!(itv⃗⋅σ⃗)k=(1−12!t2+14!t4−⋯ )I+i(t−13!t3+15!t5−⋯ )v⃗⋅σ⃗=(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗\begin{aligned} e^{i t \vec{v} \cdot \vec{\sigma}} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left( it \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^k \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{4!} t^4 - \cdots \right) I + i \left( t - \frac{1}{3!} t^3 + \frac{1}{5!} t^5 - \cdots \right) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \\ &= (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}

(4)​

(v⃗⋅σ⃗)†=v⃗⋅σ⃗(\vec{v} \cdot \vec{\sigma})^\dagger = \vec{v} \cdot \vec{\sigma} であるから、 すべての t∈Rt \in \mathbb{R} に対して、

Ut†=(cos⁡t)I−(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗ \begin{aligned} U_t^\dagger &= (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}

であり、

UtUt†={(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗}{(cos⁡t)I−(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗}=I \begin{aligned} U_t U_t^\dagger &= \left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \left\{ (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \\ &= I \end{aligned}

であるから、 UtU_t はユニタリー行列である。

(5)​

∣ψ⟩=(10)∣ψt⟩=Ut∣ψ⟩={(cos⁡t)I+(isin⁡t)v⃗⋅σ⃗}∣ψ⟩=cos⁡t(10)+isin⁡t(zx+iy)=(cos⁡t+izsin⁡t(ix−y)sin⁡t)\begin{aligned} \left| \psi \right\rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \left| \psi_t \right\rangle &= U_t \left| \psi \right\rangle \\ &= \left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \left| \psi \right\rangle \\ &= \cos t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + i \sin t \begin{pmatrix} z \\ x+iy \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t \end{pmatrix} \end{aligned}

であるから、

⟨ψt∣Z∣ψt⟩=⟨ψt∣(100−1)(cos⁡t+izsin⁡t(ix−y)sin⁡t)=(cos⁡t−izsin⁡t(−ix−y)sin⁡t)(cos⁡t+izsin⁡t(−ix+y)sin⁡t)=cos⁡2t+z2sin⁡2t−(x2+y2)sin⁡2t=cos⁡2t+(2z2−1)sin⁡2t\begin{aligned} \left\langle \psi_t \right| Z \left| \psi_t \right\rangle &= \left\langle \psi_t \right| \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos t - iz \sin t & (-ix-y) \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (-ix+y) \sin t \end{pmatrix} \\ &= \cos^2 t + z^2 \sin^2 t - (x^2 + y^2) \sin^2 t \\ &= \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \end{aligned}

である。 また、 Z2=IZ^2=I であるから、

⟨ψt∣Z2∣ψt⟩=⟨ψ∣Ut†Ut∣ψ⟩=⟨ψ∣ψ⟩=1\begin{aligned} \left\langle \psi_t \right| Z^2 \left| \psi_t \right\rangle &= \left\langle \psi \right| U_t^\dagger U_t \left| \psi \right\rangle \\ &= \langle \psi | \psi \rangle \\ &= 1 \end{aligned}

である。 よって、

σ(Z,t)2=1−{cos⁡2t+(2z2−1)sin⁡2t}2\begin{aligned} \sigma(Z,t)^2 &= 1 - \left\{ \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \right\}^2 \end{aligned}

を得る。

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