名古屋大学情報学研究科数理情報学専攻 2018年8月実施問題6 量子力学

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题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答整理。考虑 Hermitian 矩阵

A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}

以及归一化态

|\psi\rangle=\begin{pmatrix}a\\ib\end{pmatrix}, \qquad a,b\in\mathbb R,\quad a^2+b^2=1.

第 (1) 问的题干与解答均缺失。
求 $A$ 的特征值及相应的归一化特征态。
求所有使 $\langle A\rangle_\psi=\langle\psi|A|\psi\rangle=0$ 的 $a,b$ 。
求所有使 $\sigma(A)_\psi^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle A\rangle_\psi^2=0$ 的 $a,b$ 。
考虑二量子比特态 $\begin{pmatrix}c\\0\\0\\id\end{pmatrix}.$ 证明当 $c\ne0$ 且 $d\ne0$ 时，该态不能写成两个二维态向量的张量积；也就是它不是可分离的纯态。

Kai

(1)

(2)

$A$ の固有値は $0,2$ であり、それぞれに属する固有状態は、

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

(3)

$a,b \in \mathbb{R}$ で、 $\langle \psi | \psi \rangle = a^2+b^2 = 1$ であり、

\begin{aligned} \langle A \rangle_\psi &= \begin{pmatrix} a & -ib \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ ib \end{pmatrix} \\ &= (a-b)^2 \end{aligned}

であるから、 $\langle A \rangle_\psi = 0$ となるのは、

\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

の2通りである。

(4)

\begin{aligned} \langle \psi | A^2 | \psi \rangle &= 2 (a-b)^2 \\ \therefore \ \ \sigma(A)_\psi^2 &= 2 (a-b)^2 - (a-b)^4 \\ &= (a-b)^2 \left\{2 - (a-b)^2 \right\} \end{aligned}

であるから、 $\sigma(A)_\psi^2 = 0$ となるのは、

\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ \\ a = \frac{1}{\sqrt{2}}, b = - \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = - \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

の4通りである。

(5)

$x,y,z,w \in \mathbb{C}$ について、

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xz \\ xw \\ yz \\ yw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ id \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 $xw=0$ であるから、 $x=0$ または $w=0$ であり、したがって $c=0$ または $d=0$ である。よって、 $c \neq 0$ かつ $d \neq 0$ ならば、上式を満たす $x,y,z,w$ は存在しないことがわかる。

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