名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2018年8月実施 問題6 量子力学

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• Nagoya-University
• Quantum-Observable-Expectation-and-Variance
• Tensor-Product-Separability-and-Entanglement

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

(2)

$A$ の固有値は $0,2$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$a,b \in \mathbb{R}$ で、 $\langle \psi | \psi \rangle = a^2+b^2 = 1$ であり、

$$\begin{aligned} \langle A \rangle_\psi &= \begin{pmatrix} a & -ib \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ ib \end{pmatrix} \\ &= (a-b)^2 \end{aligned}$$

であるから、$\langle A \rangle_\psi = 0$ となるのは、

$$\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

の2通りである。

(4)

$$\begin{aligned} \langle \psi | A^2 | \psi \rangle &= 2 (a-b)^2 \\ \therefore \ \ \sigma(A)_\psi^2 &= 2 (a-b)^2 - (a-b)^4 \\ &= (a-b)^2 \left\{2 - (a-b)^2 \right\} \end{aligned}$$

であるから、$\sigma(A)_\psi^2 = 0$ となるのは、

$$\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ \\ a = \frac{1}{\sqrt{2}}, b = - \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = - \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

の4通りである。

(5)

$x,y,z,w \in \mathbb{C}$ について、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xz \\ xw \\ yz \\ yw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ id \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $xw=0$ であるから、 $x=0$ または $w=0$ であり、したがって $c=0$ または $d=0$ である。 よって、 $c \neq 0$ かつ $d \neq 0$ ならば、 上式を満たす $x,y,z,w$ は存在しないことがわかる。