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名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2018年8月実施 問題6 量子力学

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Miyake

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題意の要約。出典：名古屋大学公表問題。

i2=−1i^2=-1 とし、実数 a,b,c,da,b,c,d に対して

A=(1i−i1),∣ψ⟩=(aib),∣Φ⟩=(c00id)A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix},\quad |\psi\rangle=\begin{pmatrix}a\\ib\end{pmatrix},\quad |\Phi\rangle=\begin{pmatrix}c\\0\\0\\id\end{pmatrix}

と定める。両状態は正規化されており、a2+b2=c2+d2=1a^2+b^2=c^2+d^2=1 を満たす。

  1. AA が観測量を表すための条件を満たすことを示せ。
  2. AA の固有値と対応する固有状態を求めよ。
  3. ⟨A⟩ψ=⟨ψ∣A∣ψ⟩=0\langle A\rangle_\psi=\langle\psi|A|\psi\rangle=0 を満たす a,ba,b を全て求めよ。
  4. 分散 σ(A)ψ2=⟨ψ∣A2∣ψ⟩−⟨A⟩ψ2\sigma(A)_\psi^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle A\rangle_\psi^2 が零となる a,ba,b を全て求めよ。
  5. c,dc,d がともに非零ならば、∣Φ⟩|\Phi\rangle を C2\mathbb C^2 の二つの状態ベクトルのテンソル積で表せないことを示せ。

题目描述​

考虑 Hermitian 矩阵

A=(1i−i1)A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}

以及归一化态

∣ψ⟩=(aib),a,b∈R,a2+b2=1.|\psi\rangle=\begin{pmatrix}a\\ib\end{pmatrix}, \qquad a,b\in\mathbb R,\quad a^2+b^2=1.
  1. 证明 AA 满足可观测量的矩阵条件。
  2. 求 AA 的特征值及相应的归一化特征态。
  3. 求所有使 ⟨A⟩ψ=⟨ψ∣A∣ψ⟩=0\langle A\rangle_\psi=\langle\psi|A|\psi\rangle=0 的 a,ba,b。
  4. 求所有使 σ(A)ψ2=⟨ψ∣A2∣ψ⟩−⟨A⟩ψ2=0\sigma(A)_\psi^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle A\rangle_\psi^2=0 的 a,ba,b。
  5. 设 c,d∈Rc,d\in\mathbb R、c2+d2=1c^2+d^2=1，考虑二量子比特态 (c00id).\begin{pmatrix}c\\0\\0\\id\end{pmatrix}. 证明当 c≠0c\ne0 且 d≠0d\ne0 时，该态不能写成两个二维态向量的张量积；也就是它不是可分离的纯态。

Kai​

(1)​

A†=AA^\dagger=A である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)​

AA の固有値は 0,20,2 であり、それぞれに属する固有状態は、

12(1i),  12(1−i)\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

(3)​

a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} で、 ⟨ψ∣ψ⟩=a2+b2=1\langle \psi | \psi \rangle = a^2+b^2 = 1 であり、

⟨A⟩ψ=(a−ib)(1i−i1)(aib)=(a−b)2\begin{aligned} \langle A \rangle_\psi &= \begin{pmatrix} a & -ib \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ ib \end{pmatrix} \\ &= (a-b)^2 \end{aligned}

であるから、⟨A⟩ψ=0\langle A \rangle_\psi = 0 となるのは、

a=b=12 ;  a=b=−12\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

の2通りである。

(4)​

⟨ψ∣A2∣ψ⟩=2(a−b)2∴  σ(A)ψ2=2(a−b)2−(a−b)4=(a−b)2{2−(a−b)2}\begin{aligned} \langle \psi | A^2 | \psi \rangle &= 2 (a-b)^2 \\ \therefore \ \ \sigma(A)_\psi^2 &= 2 (a-b)^2 - (a-b)^4 \\ &= (a-b)^2 \left\{2 - (a-b)^2 \right\} \end{aligned}

であるから、σ(A)ψ2=0\sigma(A)_\psi^2 = 0 となるのは、

a=b=12 ;  a=b=−12 ;  a=12,b=−12 ;  a=−12,b=12\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ \\ a = \frac{1}{\sqrt{2}}, b = - \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = - \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

の4通りである。

(5)​

x,y,z,w∈Cx,y,z,w \in \mathbb{C} について、

(xy)⊗(zw)=(xzxwyzyw)=(c00id)\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xz \\ xw \\ yz \\ yw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ id \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 xw=0xw=0 であるから、 x=0x=0 または w=0w=0 であり、したがって c=0c=0 または d=0d=0 である。 よって、 c≠0c \neq 0 かつ d≠0d \neq 0 ならば、 上式を満たす x,y,z,wx,y,z,w は存在しないことがわかる。

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