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名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2018年8月実施 問題6 量子力学

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Author​

Miyake

Description​

行列

A=(1i−i1),A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix},

状態ベクトル

∣ψ⟩=(aib),∣Φ⟩=(c00id)|\psi\rangle=\begin{pmatrix}a\\ib\end{pmatrix},\qquad |\Phi\rangle=\begin{pmatrix}c\\0\\0\\id\end{pmatrix}

とする．ただし，i=−1i=\sqrt{-1} は虚数単位（imaginary unit），a,b,c,d∈Ra,b,c,d\in\mathbb R，⟨ψ∣ψ⟩=⟨Φ∣Φ⟩=1\langle\psi|\psi\rangle=\langle\Phi|\Phi\rangle=1 とする．以下の各問に答えよ．

(1) AA が観測量（observable）を表すことを示せ．

(2) AA の固有値（eigenvalue）と固有状態（eigenstate）を与えよ．

(3) 期待値（expectation value）⟨A⟩ψ=⟨ψ∣A∣ψ⟩\langle A\rangle_\psi=\langle\psi|A|\psi\rangle が0になる a,ba,b を求めよ．

(4) バリアンス（variance）σ(A)ψ2=⟨ψ∣A2∣ψ⟩−⟨ψ∣A∣ψ⟩2\sigma(A)_\psi^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle\psi|A|\psi\rangle^2 が0になる a,ba,b を求めよ．

(5) c≠0,d≠0c\ne0,d\ne0 ならば，∣Φ⟩=∣φ⟩⊗∣φ′⟩|\Phi\rangle=|\varphi\rangle\otimes|\varphi'\rangle を満たす状態ベクトル ∣φ⟩,∣φ′⟩∈C2|\varphi\rangle,|\varphi'\rangle\in\mathbb C^2 が存在しないことを示せ．

题目描述​

设矩阵及状态向量为

A=(1i−i1),∣ψ⟩=(aib),∣Φ⟩=(c00id).A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix},\qquad |\psi\rangle=\begin{pmatrix}a\\ib\end{pmatrix},\qquad |\Phi\rangle=\begin{pmatrix}c\\0\\0\\id\end{pmatrix}.

其中 i=−1i=\sqrt{-1} 为虚数单位，a,b,c,d∈Ra,b,c,d\in\mathbb R，且 ⟨ψ∣ψ⟩=⟨Φ∣Φ⟩=1\langle\psi|\psi\rangle=\langle\Phi|\Phi\rangle=1。回答下列问题。

(1) 证明 AA 表示可观测量。

(2) 给出 AA 的特征值和本征态。

(3) 求使期望值 ⟨A⟩ψ=⟨ψ∣A∣ψ⟩\langle A\rangle_\psi=\langle\psi|A|\psi\rangle 为0的 a,ba,b。

(4) 求使方差 σ(A)ψ2=⟨ψ∣A2∣ψ⟩−⟨ψ∣A∣ψ⟩2\sigma(A)_\psi^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle\psi|A|\psi\rangle^2 为0的 a,ba,b。

(5) 证明若 c≠0,d≠0c\ne0,d\ne0，则不存在满足 ∣Φ⟩=∣φ⟩⊗∣φ′⟩|\Phi\rangle=|\varphi\rangle\otimes|\varphi'\rangle 的状态向量 ∣φ⟩,∣φ′⟩∈C2|\varphi\rangle,|\varphi'\rangle\in\mathbb C^2。

Kai​

(1)​

A†=AA^\dagger=A である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)​

AA の固有値は 0,20,2 であり、それぞれに属する固有状態は、

12(1i),  12(1−i)\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

(3)​

a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} で、 ⟨ψ∣ψ⟩=a2+b2=1\langle \psi | \psi \rangle = a^2+b^2 = 1 であり、

⟨A⟩ψ=(a−ib)(1i−i1)(aib)=(a−b)2\begin{aligned} \langle A \rangle_\psi &= \begin{pmatrix} a & -ib \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ ib \end{pmatrix} \\ &= (a-b)^2 \end{aligned}

であるから、⟨A⟩ψ=0\langle A \rangle_\psi = 0 となるのは、

a=b=12 ;  a=b=−12\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

の2通りである。

(4)​

⟨ψ∣A2∣ψ⟩=2(a−b)2∴  σ(A)ψ2=2(a−b)2−(a−b)4=(a−b)2{2−(a−b)2}\begin{aligned} \langle \psi | A^2 | \psi \rangle &= 2 (a-b)^2 \\ \therefore \ \ \sigma(A)_\psi^2 &= 2 (a-b)^2 - (a-b)^4 \\ &= (a-b)^2 \left\{2 - (a-b)^2 \right\} \end{aligned}

であるから、σ(A)ψ2=0\sigma(A)_\psi^2 = 0 となるのは、

a=b=12 ;  a=b=−12 ;  a=12,b=−12 ;  a=−12,b=12\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ \\ a = \frac{1}{\sqrt{2}}, b = - \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = - \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

の4通りである。

(5)​

x,y,z,w∈Cx,y,z,w \in \mathbb{C} について、

(xy)⊗(zw)=(xzxwyzyw)=(c00id)\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xz \\ xw \\ yz \\ yw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ id \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 xw=0xw=0 であるから、 x=0x=0 または w=0w=0 であり、したがって c=0c=0 または d=0d=0 である。 よって、 c≠0c \neq 0 かつ d≠0d \neq 0 ならば、 上式を満たす x,y,z,wx,y,z,w は存在しないことがわかる。

Reference​

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