名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2018年2月実施 問題2（微分積分）

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• 名古屋大学
• 微分
• 局部极值
• 二重积分
• 变量代换与雅可比行列式

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

外国人留学生は、英語での回答は可能。

以下の各問に答えよ。

(1) $f(x)=e^{-x^2}$ の増減・極値・凹凸および変曲点 (inflection point) を調べてグラフを書け。

(2) $zw$-平面上の領域 $E$ を直線 $w=0$、$z=1$ および $z=w$ で囲まれた部分とする。重積分

$$\iint_E e^{-z^2}\,dz\,dw$$

の値を求めよ。

(3) $xy$-平面上の領域 $D$ を直線 $x+y=0$、$x-y=1$ および $y=0$ で囲まれた部分とする。重積分

$$\iint_D 4e^{-(x-y)^2}\,dx\,dy$$

の値を求めよ。

题目描述

外国留学生可以用英语作答。

回答下列各问。

(1) 研究函数 $f(x)=e^{-x^2}$ 的增减性、极值、凹凸性和拐点，并画出函数图像。

(2) 设 $zw$ 平面上的区域 $E$ 是由直线 $w=0$、$z=1$ 和 $z=w$ 围成的部分。求二重积分

$$\iint_E e^{-z^2}\,dz\,dw$$

的值。

(3) 设 $xy$ 平面上的区域 $D$ 是由直线 $x+y=0$、$x-y=1$ 和 $y=0$ 围成的部分。求二重积分

$$\iint_D 4e^{-(x-y)^2}\,dx\,dy$$

的值。

Kai

(1)

導関数は

$$\begin{aligned} f'(x)&=-2xe^{-x^2},\\ f''(x)&=(4x^2-2)e^{-x^2} \end{aligned}$$

である。$e^{-x^2}>0$ より、$x<0$ では $f'(x)>0$、$x>0$ では $f'(x)<0$ となる。したがって $(-\infty,0)$ で単調増加、$(0,\infty)$ で単調減少し、$x=0$ で極大値 $f(0)=1$ を取る。これは最大値でもあり、極小値は存在しない。

また、$f''(x)$ の符号から凹凸は次のとおりである。

区間	$f''(x)$ の符号	凹凸
$(-\infty,-1/\sqrt2)$	正	下に凸
$(-1/\sqrt2,1/\sqrt2)$	負	上に凸
$(1/\sqrt2,\infty)$	正	下に凸

$x=\pm1/\sqrt2$ で $f''(x)$ の符号が変わるので、変曲点は

$$\boxed{\left(-\frac1{\sqrt2},e^{-1/2}\right),\quad \left(\frac1{\sqrt2},e^{-1/2}\right)}$$

である。$f(-x)=f(x)$ なのでグラフは $y$ 軸対称であり、

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$$

より $x$ 軸を漸近線とする。$f(x)>0$ なので最小値はなく、下限は $0$ である。

(2)

領域は

$$E=\{(z,w)\mid 0\le w\le z\le1\}$$

である。積分順序を交換すると、

$$\begin{aligned} \iint_E e^{-z^2}\,dz\,dw &=\int_0^1\left(\int_w^1e^{-z^2}\,dz\right)dw\\ &=\int_0^1\left(\int_0^ze^{-z^2}\,dw\right)dz\\ &=\int_0^1ze^{-z^2}\,dz\\ &=\left[-\frac12e^{-z^2}\right]_0^1\\ &=\boxed{\frac{1-e^{-1}}2}. \end{aligned}$$

(3)

$$z=x-y,\qquad w=x+y$$

と変数変換する。その逆変換とヤコビアンは

$$x=\frac{z+w}{2},\qquad y=\frac{w-z}{2},$$

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,w)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\-\frac12&\frac12\end{pmatrix}\right| =\frac12$$

である。$D$ の三つの境界 $x+y=0$、$x-y=1$、$y=0$ は、それぞれ $w=0$、$z=1$、$w=z$ に移る。したがって $D$ は (2) の領域 $E$ に写される。

よって (2) の結果を用いて、

$$\begin{aligned} \iint_D4e^{-(x-y)^2}\,dx\,dy &=\iint_E4e^{-z^2}\cdot\frac12\,dz\,dw\\ &=2\cdot\frac{1-e^{-1}}2\\ &=\boxed{1-e^{-1}}. \end{aligned}$$

Reference

• 名古屋大学大学院情報学研究科 数理情報学専攻 平成30年度入学試験問題（2018年2月8日実施、問題2：PDF 2ページ）