名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2018年2月実施 問題1（線形代数）

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• 名古屋大学
• 线性变换
• 矩阵对角化

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

外国人留学生は、英語での回答は可能。

$\mathbb{R}^3$ における次のベクトルを考えよ：

$$\begin{aligned} v_1&=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},& v_2&=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix},\\[1em] v_3&=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix},& v_4&=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix},\\[1em] w_1&=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},& w_2&=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix},\\[1em] w_3&=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},& w_4&=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ここで $a,b,c\in\mathbb{R}$ とする。以下の各問に答えよ。

(1) ある行列 $M$ に関する式

$$w_i=Mv_i\qquad i=1,2,3,4 \tag{*}$$

を成立させる $a,b,c\in\mathbb{R}$ を見つけよ。

(2) 式 $(*)$ を満たす $M$ を具体的に記述せよ。

(3) 行列 $M$ を対角化 (diagonalize) せよ。

题目描述

外国留学生可以用英语作答。

考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的下列向量：

$$\begin{aligned} v_1&=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},& v_2&=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix},\\[1em] v_3&=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix},& v_4&=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix},\\[1em] w_1&=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},& w_2&=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix},\\[1em] w_3&=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},& w_4&=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

其中 $a,b,c\in\mathbb{R}$。回答下列问题。

(1) 求实数 $a,b,c$，使得存在矩阵 $M$ 满足

$$w_i=Mv_i\qquad i=1,2,3,4. \tag{*}$$

(2) 具体写出满足式 $(*)$ 的矩阵 $M$。

(3) 将矩阵 $M$ 对角化。

Kai

(1)

列ベクトルを並べた行列を

$$\begin{aligned} V&=(v_1\ v_2\ v_3) =\begin{pmatrix} 1&1&3\\ 2&3&2\\ 1&1&1 \end{pmatrix},\\[1em] W&=(w_1\ w_2\ w_3) =\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&1&2\\ 1&0&3 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

とおく。$\det V=-2\ne0$ なので，$v_1,v_2,v_3$ は基底をなし，$Mv_i=w_i$ $(i=1,2,3)$ を満たす行列 $M=WV^{-1}$ が一意に定まる。また，$\det W=6\ne0$ より $M$ も可逆である。

$w_4=w_1+w_3$ であるから，

$$Mv_4=w_4=w_1+w_3=M(v_1+v_3).$$

よって

$$\begin{aligned} v_4&=v_1+v_3=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix},\\[6pt] &\boxed{(a,b,c)=(4,4,2)}. \end{aligned}$$

(2)

$MV=W$ より，

$$V^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac12&-1&\frac72\\ 0&1&-2\\ \frac12&0&-\frac12 \end{pmatrix}$$

を用いて

$$\boxed{ M=WV^{-1} =\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ 1&1&-3\\ 1&-1&2 \end{pmatrix} }.$$

この行列に対し，$M(4,4,2)^{\mathsf T}=(2,2,4)^{\mathsf T}=w_4$ も成立する。

(3)

特性多項式は

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-M) &=\begin{vmatrix} \lambda&-1&1\\ -1&\lambda-1&3\\ -1&1&\lambda-2 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-3). \end{aligned}$$

したがって固有値は $-1,1,3$ である。各固有値に対する固有ベクトルとして，それぞれ

$$\begin{aligned} u_{-1}&=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix},\\[1em] u_1&=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix},\\[1em] u_3&=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

を取れる。これらを列に並べて

$$P=(u_{-1}\ u_1\ u_3) =\begin{pmatrix} -1&3&-1\\ 2&4&-2\\ 1&1&1 \end{pmatrix}$$

とおくと，$\det P=-16\ne0$ であり，

$$\boxed{ P^{-1}MP =\begin{pmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix} }.$$

Reference

• 名古屋大学大学院情報学研究科 数理情報学専攻 平成30年度入学試験問題（2018年2月8日実施、問題1：PDF 2ページ）