名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2017年8月実施 問題6 量子力学

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Author

Miyake

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題意の要約。出典：名古屋大学公表問題。

実数 $a,b,c,d$ に対して

$$A=\begin{pmatrix}a&b-ic\\b+ic&d\end{pmatrix}$$

とし、次の行列を用いる。

$$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad i^2=-1.$$

1. $A$ が量子力学の観測量に対応することを示せ。
2. $X,Y,Z$ の固有値と固有状態をそれぞれ求めよ。
3. 各行列の固有状態を $|\psi_j^X\rangle,|\psi_j^Y\rangle,|\psi_j^Z\rangle$（$j=1,2$）とする。$x_j=\langle\psi_j^X|A|\psi_j^X\rangle$、$y_j=\langle\psi_j^Y|A|\psi_j^Y\rangle$、$z_j=\langle\psi_j^Z|A|\psi_j^Z\rangle$ を求めよ。
4. $A$ を $x_1,y_1,z_1,z_2$ で表せ。
5. 正規化状態 $|\psi\rangle$ での分散を $\sigma(A)^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle\psi|A|\psi\rangle^2$ と定義する。$|\psi_1^Y\rangle$ での分散 $\tau$ を求めよ。
6. $\tau=0$ と $A=aI+cY$ が同値であることを示せ。
7. 分散 $\tau$ が零であることの物理的意味を述べよ。

题目描述

设三个 Pauli 矩阵为 $X,Y,Z$，并考虑二阶 Hermitian 矩阵

$$A=\begin{pmatrix}a&b-ic\\b+ic&d\end{pmatrix}, \qquad a,b,c,d\in\mathbb R.$$

1. 证明 $A$ 是 Hermitian 矩阵，因而可表示量子力学可观测量。
2. 求 $X,Y,Z$ 各自的特征值及对应的归一化特征态。
3. 将 $X,Y,Z$ 的特征态分别记为 $|\psi_j^X\rangle,|\psi_j^Y\rangle,|\psi_j^Z\rangle$（$j=1,2$），并令
   $$x_j=\langle\psi_j^X|A|\psi_j^X\rangle,\quad y_j=\langle\psi_j^Y|A|\psi_j^Y\rangle,\quad z_j=\langle\psi_j^Z|A|\psi_j^Z\rangle.$$
   用 $a,b,c,d$ 表示这些期望值。
4. 反过来，用测得的 $x_1,y_1,z_1,z_2$ 表示矩阵 $A$。
5. 对状态 $|\psi_1^Y\rangle$，求可观测量 $A$ 的方差 $\tau=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2.$
6. 求 $\tau=0$ 的充要条件，并用单位矩阵 $I$ 与 $Y$ 表示此时的 $A$。
7. 说明方差 $\tau=0$ 的物理含义。

Kai

(1)

$A^\dagger=A$ である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)

$X$ の固有値は $1,-1$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} | X=1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ | X=-1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

$Y$ の固有値は $1,-1$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} | Y=1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ | Y=-1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

$Z$ の固有値は $1,-1$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} | Z=1 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | Z=-1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

次のようにおく：

$$\begin{aligned} | \psi_1^X \rangle = | X=1 \rangle&, \ \ | \psi_2^X \rangle = | X=-1 \rangle, \\ | \psi_1^Y \rangle = | Y=1 \rangle&, \ \ | \psi_2^Y \rangle = | Y=-1 \rangle, \\ | \psi_1^Z \rangle = | Z=1 \rangle&, \ \ | \psi_2^Z \rangle = | Z=-1 \rangle \end{aligned}$$

このとき、

$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} (a+2b+d) \\ x_2 &= \frac{1}{2} (a-2b+d) \\ y_1 &= \frac{1}{2} (a+2c+d) \\ y_2 &= \frac{1}{2} (a-2c+d) \\ z_1 &= a \\ z_2 &= d \end{aligned}$$

である。

(4)

(3) より、

$$\begin{aligned} a &= z_1 \\ d &= z_2 \\ b &= x_1 - \frac{1}{2} z_1 - \frac{1}{2} z_2 \\ c &= y_1 - \frac{1}{2} z_1 - \frac{1}{2} z_2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} z_1 & x_1 - iy_1 - \frac{1}{2}(1-i)(z_1+z_2) \\ x_1 + iy_1 - \frac{1}{2}(1+i)(z_1+z_2) & z_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書ける。

(5)

$$\begin{aligned} \langle \psi_1^Y | A | \psi_1^Y \rangle &= \frac{1}{2} (a+2c+d) \\ \langle \psi_1^Y | A^2 | \psi_1^Y \rangle &= \frac{1}{2} (a^2 + d^2) + (a+d)c + b^2 + c^2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \tau &= \frac{1}{2} (a^2 + d^2) + (a+d)c + b^2 + c^2 - \left( \frac{1}{2} (a+2c+d) \right)^2 \\ &= \frac{1}{4} (a-d)^2 + b^2 \end{aligned}$$

を得る。

(6)

(5) より、

$$\begin{aligned} \tau = 0 &\Leftrightarrow a=d, b=0 \\ &\Leftrightarrow A = \begin{pmatrix} a & -ic \\ ic & a \end{pmatrix} = aI+cY \end{aligned}$$

がわかる。

(7)

$\tau=0$ ならば、状態 $|\psi_1^Y\rangle$ は $A=aI+cY$ の固有状態でもある。固有値 $+1$ の $Y$ の状態を選んでいるので、$A$ の測定値は確率 1 で $a+c$ となり、測定結果のばらつきがない。一般に

$$\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2 =\|(A-\langle A\rangle I)|\psi\rangle\|^2$$

であるから、零分散はその状態で観測量の値が確定していることを意味する。