名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2017年8月実施 問題6 量子力学

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• 泡利矩阵
• 量子比特态层析
• 量子可观测量的期望与方差

Author

Miyake

Description

$$A=\begin{pmatrix}a&b-ic\\b+ic&d\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},$$

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

とする．ただし，$i=\sqrt{-1}$ は虚数単位（imaginary unit），$a,b,c,d\in\mathbb R$ とする．以下の問(1)～(7)に答えよ．

(1) $A$ が観測量（observable）を表すことを示せ．

(2) $X,Y,Z$ の固有値（eigenvalue）と固有状態（eigenstate）を与えよ．

(3) 期待値

$$\begin{aligned} x_i&=\langle\psi_i^X|A|\psi_i^X\rangle,\\ y_i&=\langle\psi_i^Y|A|\psi_i^Y\rangle,\\ z_i&=\langle\psi_i^Z|A|\psi_i^Z\rangle\qquad(i=1,2) \end{aligned}$$

を求めよ．ただし，$|\psi_1^X\rangle,|\psi_2^X\rangle$ は $X$ の固有状態，$|\psi_1^Y\rangle,|\psi_2^Y\rangle$ は $Y$ の固有状態，$|\psi_1^Z\rangle,|\psi_2^Z\rangle$ は $Z$ の固有状態を表すものとする．

(4) $x_1,y_1,z_1,z_2$ を用いて，行列 $A$ を表せ．

(5) 状態が $|\psi\rangle$ であるときの観測量 $A$ のバリアンス（variance）は，$\sigma(A)^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle\psi|A|\psi\rangle^2$ と定義される．このとき，$|\psi_1^Y\rangle$ における $\sigma(A)^2$ を $\tau$ とする．$\tau$ を求めよ．

(6) $\tau=0$ と $A=aI+cY$ は同値であることを示せ．

(7) $\tau=0$ の直感的な解釈を説明せよ．

题目描述

设

$$A=\begin{pmatrix}a&b-ic\\b+ic&d\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},$$

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$

其中 $i=\sqrt{-1}$ 为虚数单位，$a,b,c,d\in\mathbb R$。回答(1)～(7)。

(1) 证明 $A$ 表示可观测量。

(2) 给出 $X,Y,Z$ 的特征值与本征态。

(3) 求期望值

$$\begin{aligned} x_i&=\langle\psi_i^X|A|\psi_i^X\rangle,\\ y_i&=\langle\psi_i^Y|A|\psi_i^Y\rangle,\\ z_i&=\langle\psi_i^Z|A|\psi_i^Z\rangle\qquad(i=1,2). \end{aligned}$$

其中 $|\psi_1^X\rangle,|\psi_2^X\rangle$ 是 $X$ 的本征态，$|\psi_1^Y\rangle,|\psi_2^Y\rangle$ 是 $Y$ 的本征态，$|\psi_1^Z\rangle,|\psi_2^Z\rangle$ 是 $Z$ 的本征态。

(4) 用 $x_1,y_1,z_1,z_2$ 表示矩阵 $A$。

(5) 状态为 $|\psi\rangle$ 时，可观测量 $A$ 的方差定义为 $\sigma(A)^2=\langle\psi|A^2|\psi\rangle-\langle\psi|A|\psi\rangle^2$。将状态 $|\psi_1^Y\rangle$ 下的 $\sigma(A)^2$ 记为 $\tau$，求 $\tau$。

(6) 证明 $\tau=0$ 与 $A=aI+cY$ 等价。

(7) 说明 $\tau=0$ 的直观解释。

Kai

(1)

$A^\dagger=A$ である。有限次元量子系ではエルミート行列が観測量を表すので、求める性質が従う。

(2)

$X$ の固有値は $1,-1$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} | X=1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ | X=-1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

$Y$ の固有値は $1,-1$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} | Y=1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ | Y=-1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

$Z$ の固有値は $1,-1$ であり、それぞれに属する固有状態は、

$$\begin{aligned} | Z=1 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | Z=-1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

次のようにおく：

$$\begin{aligned} | \psi_1^X \rangle = | X=1 \rangle&, \ \ | \psi_2^X \rangle = | X=-1 \rangle, \\ | \psi_1^Y \rangle = | Y=1 \rangle&, \ \ | \psi_2^Y \rangle = | Y=-1 \rangle, \\ | \psi_1^Z \rangle = | Z=1 \rangle&, \ \ | \psi_2^Z \rangle = | Z=-1 \rangle \end{aligned}$$

このとき、

$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} (a+2b+d) \\ x_2 &= \frac{1}{2} (a-2b+d) \\ y_1 &= \frac{1}{2} (a+2c+d) \\ y_2 &= \frac{1}{2} (a-2c+d) \\ z_1 &= a \\ z_2 &= d \end{aligned}$$

である。

(4)

(3) より、

$$\begin{aligned} a &= z_1 \\ d &= z_2 \\ b &= x_1 - \frac{1}{2} z_1 - \frac{1}{2} z_2 \\ c &= y_1 - \frac{1}{2} z_1 - \frac{1}{2} z_2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} z_1 & \begin{gathered}x_1-iy_1\\{}-\frac12(1-i)(z_1+z_2)\end{gathered} \\ \begin{gathered}x_1+iy_1\\{}-\frac12(1+i)(z_1+z_2)\end{gathered} & z_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書ける。

(5)

$$\begin{aligned} \langle \psi_1^Y | A | \psi_1^Y \rangle &= \frac{1}{2} (a+2c+d) \\ \langle \psi_1^Y | A^2 | \psi_1^Y \rangle &= \frac{1}{2} (a^2 + d^2) + (a+d)c + b^2 + c^2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \tau &= \frac{1}{2} (a^2 + d^2) + (a+d)c + b^2 + c^2 - \left( \frac{1}{2} (a+2c+d) \right)^2 \\ &= \frac{1}{4} (a-d)^2 + b^2 \end{aligned}$$

を得る。

(6)

(5) より、

$$\begin{aligned} \tau = 0 &\Leftrightarrow a=d, b=0 \\ &\Leftrightarrow A = \begin{pmatrix} a & -ic \\ ic & a \end{pmatrix} = aI+cY \end{aligned}$$

がわかる。

(7)

$\tau=0$ ならば、状態 $|\psi_1^Y\rangle$ は $A=aI+cY$ の固有状態でもある。固有値 $+1$ の $Y$ の状態を選んでいるので、$A$ の測定値は確率 1 で $a+c$ となり、測定結果のばらつきがない。一般に

$$\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2 =\|(A-\langle A\rangle I)|\psi\rangle\|^2$$

であるから、零分散はその状態で観測量の値が確定していることを意味する。

Reference

• 公式問題（PDF）