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名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻 2022年8月実施 専門 問5

Author

祭音Myyura

Description

配列を利用してヒープを実現し,優先度付きキューとして使用することを考える. 取り扱うデータは整数であると仮定し,データの値そのものをヒープのキーとして使用する. ヒープは,最下層のみに節点の欠落を許す完全2分木として構成し,最下層の節点は左側から詰めて配置する. ヒープの根節点を節点 1,節点 i の左右の子をそれぞれ節点 2i, 節点 2i+1 と呼ぶ. 内部節点 i のキーの値は,その子 2i および 2i+1 のキーの値以上となっている必要があり,これをヒープ条件という.

十分大きなサイズを持つ配列 A の存在を仮定し,ヒープにおける節点 i のデータを配列要素 A[i] に格納する. また,配列 A の中に格納されているデータ数(ヒープの節点数)を変数A.size に代入して記録する(したがって,ヒープのデータは A[1], ..., A[A.size]に格納されている). 疑似コード1の Heapify は節点 i で局所的に崩れたヒープ条件を修復する操作,疑似コード 2 の Build-Heap は全ての節点でヒープ条件が成り立つようデータを移動する操作である. なお, 以下の最大整数を表す.

(1) 配列 A の中に,図 1 に示すようなデータが格納されている.この図に対応する配列要素 A[1], ..., A[10] の値を示せ.

(2) 問 (1) の配列 A に対し Build-Heap(A) を実行した後のヒープを,図 1 のような2分木として示せ.

上記のように実現したヒープを利用し,優先度付きキューを構成する. 優先度付きキューから最大のデータを取り出す Pull 操作,優先度付きキューにデータ(キー)を挿入する Push 操作は,疑似コード 3,4 のように実現される.

(3) 疑似コード 3 で (X) となっている箇所に記載すべき操作を,1 行の疑似コードとして示せ. 複数の疑似コードが考えられる場合は,できるだけ効率の良いものを解答すること.

(4) 図 2 のヒープが配列 A に格納されているとする.このとき,Push(A,15) を実行した後のヒープを2分木として示せ.

優先度付きキューに格納されているデータ数(ヒープの節点数)を n とする.

(5) Push の最悪時間計算量を n に関するオーダー記法で示せ.また,その計算量となる理由を説明せよ.

(6) Build-Heap の最悪時間計算量を n に関するオーダー記法で示せ.また,その計算量となる理由を説明せよ.

Kai

(1)

A = [14, 8, 4, 11, 7, 12, 6, 2, 13, 1]

(2)

                             14
/ \
13 12
/ \ / \
11 7 6 4
/ \ /
2 8 1

(3)

Heapify(A, 1)

(4)

                             16
/ \
15 10
/ \ / \
12 14 8 6
/ \ / \
1 7 2 5

(5)

最悪のとき、while 文の実行する回数が なので、Push の最悪時間計算量は となる。

(6)

Build-Heap の最悪時間計算量を とおくと、

よって、