名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻・知能システム学専攻 2019年8月実施 確率・統計

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Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答整理；第 [1] 题前三小问所指的具体投掷事件没有保留下来。

1. 重复投掷一枚公平硬币。
   1. 前三小问分别计算若干指定正反面序列的概率，现有解答中的结果依次为 $1/8$、$1/8$、$1/16$，但准确事件条件缺失；
   2. 求首次出现一个正面所需投掷次数的期望；
   3. 求首次出现连续两个正面所需投掷次数的期望；
   4. 求首次出现连续三个正面所需投掷次数的期望。
2. 二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度在 $x\ge0,\,-x\le y\le x$ 上为 $f_{X,Y}(x,y)=a(x^2-y^2)e^{-x},$ 在其他区域为 $0$。
   1. 求联合密度取得最大值时的 $(x,y)$；
   2. 求 $X$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$；
   3. 由归一化条件求常数 $a$；
   4. 求 $X$ 的均值。

考点

• 独立重复试验：计算公平硬币指定结果序列的概率。
• 等待时间期望：用递推关系或无穷级数求连续正面模式的首次出现时间。
• 二维概率密度：结合支持区域与偏导数确定密度最大点。
• 边缘密度：对另一随机变量在其条件范围内积分。
• 归一化与期望积分：利用伽马型积分求参数和随机变量均值。

Kai

[1]

(1)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \end{aligned}$$

(4)

求める期待値 $E(\text{表})$ は、

$$\begin{aligned} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \end{aligned}$$

であるが、両辺 $1/2$ 倍すると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 + \cdots \end{aligned}$$

となる。 1番目の式から2番目の式を引くと、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) &= \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 1 \end{aligned}$$

となるから、

$$\begin{aligned} E \left( \text{表} \right) = 2 \end{aligned}$$

を得る。

(5)

与えられた式を整理して、

$$\begin{aligned} E \left( \text{表表} \right) &= 2 E \left( \text{表} \right) + 2 \\ &= 6 \end{aligned}$$

を得る。

(6)

(5) と同じように考えて、

$$\begin{aligned} E \left( \text{表表表} \right) &= 2 E \left( \text{表表} \right) + 2 \\ &= 14 \end{aligned}$$

を得る。

[2]

(1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} f_{X,Y}(x,y) &= a ( -x^2 + 2x + y^2 ) e^{-x} \\ \frac{\partial}{\partial y} f_{X,Y}(x,y) &= -2ay e^{-x} \end{aligned}$$

であるから、 $f_{X,Y}(x,y)$ が最大となるのは $x=2,y=0$ のときである。

(2)

$$\begin{aligned} f_X(x) &= a e^{-x} \int_{-x}^x ( x^2 - y^2 ) dy \\ &= \frac{4}{3} a x^3 e^{-x} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} 1 &= \int_0^\infty f_X(x) dx \\ &= \frac{4}{3} a \int_0^\infty x^3 e^{-x} dx \\ &= 8a \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} a = \frac{1}{8} \end{aligned}$$

である。

(4)

$$\begin{aligned} \mu_x &= \int_0^\infty x f_X(x) dx \\ &= \frac{1}{6} \int_0^\infty x^4 e^{-x} dx \\ &= 4 \end{aligned}$$