名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻・知能システム学専攻 2018年8月実施 確率・統計

标签：

• Nagoya-University
• Bayes-Theorem
• Conditional-Probability
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function
• Expectation-and-Variance

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容只能依据现有解答整理，个别实验条件无法完整还原。

1. 从两个装有红球及其他颜色球的盒子 $A,B$ 中等概率选择一个盒子并取球，解答显示单次从 $A$、$B$ 取到红球的概率分别为 $4/6$、$2/6$。
   1. 求一次取到红球的概率；
   2. 原题要求计算某个连续取球事件的概率，但现有资料仅保留了组合数计算式，准确事件条件缺失；
   3. 已知第一次取到红球，比较第二次选择同一盒子或另一个盒子时取到红球的概率，并判断哪种策略较优。取球后不放回。
2. 随机变量的概率密度在 $0\le x\le1$ 上为 $f(x)=12x^2(a-x)$，区间外为 $0$。
   1. 由归一化条件求常数 $a$；
   2. 求 $P(X\le 1/3)$；
   3. 求 $X$ 的均值与方差；
   4. 将随机变量 $\theta$ 视为一枚硬币出现正面的概率，且 $\theta$ 服从上述密度。条件于 $\theta$ 独立投掷硬币 $n$ 次，求全部出现正面的无条件概率。

Kai

[1]

(1)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \frac{{}_6C_2 - {}_4C_2}{{}_6C_2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{}_6C_2 - 3}{{}_6C_2} = \frac{7}{10} \end{aligned}$$

(3)

初めに箱 A, B を選ぶことをそれぞれ $X_1=A,B$ で表し、 次に箱 A, B を選ぶことをそれぞれ $X_2=A,B$ で表す。 また、初めに赤玉を選ぶことを $Y_1=R$ で表し、 次に赤玉を選ぶことを $Y_2=R$ で表す。

初めの玉が赤玉であったとき、選んだ箱がA,Bであった確率は、 それぞれ、

$$\begin{aligned} P(X_1 = A \mid Y_1 = R) &= \frac{P(X_1=A) P(Y_1=R \mid X_1=A)}{P(Y_1=R)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \\ P(X_1 = B \mid Y_1 = R) &= \frac{P(X_1=B) P(Y_1=R \mid X_1=B)}{P(Y_1=R)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \end{aligned}$$

である。 初めに箱Aを選んで赤玉を取り出したとき、 次に箱 A, B を選んで赤玉を取り出す確率は、それぞれ、

$$\begin{aligned} P(Y_2=R \mid X_1 = A , Y_1 = R, X_2=A) &= \frac{3}{5} \\ P(Y_2=R \mid X_1 = A , Y_1 = R, X_2=B) &= \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{aligned}$$

であり、 初めに箱Bを選んで赤玉を取り出したとき、 次に箱 A, B を選んで赤玉を取り出す確率は、それぞれ、

$$\begin{aligned} P(Y_2=R \mid X_1 = B , Y_1 = R, X_2=A) &= \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\ P(Y_2=R \mid X_1 = B , Y_1 = R, X_2=B) &= \frac{1}{5} \end{aligned}$$

である。 よって、 初めに赤玉を取り出したとき、次に同じ箱を選んで赤玉を取り出す確率は、

$$\begin{aligned} & P(X_1=A \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=A , Y_1=R, X_2=A) \\ & \ \ \ \ + P(X_1=B \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=B , Y_1=R, X_2=B) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{7}{15} \end{aligned}$$

であり、 次に別の箱を選んで赤玉を取り出す確率は、

$$\begin{aligned} & P(X_1=A \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=A , Y_1=R, X_2=B) \\ & \ \ \ \ + P(X_1=B \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=B , Y_1=R, X_2=A) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{4}{9} \end{aligned}$$

であるから、前者の方が大きい。

[2]

(1)

$$\begin{aligned} 1 &= 12 \int_0^1 x^2(a-x) dx \\ &= 4a-3 \\ \therefore \ \ \ \ a &= 1 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} 12 \int_0^{1/3} x^2(1-x) dx = \frac{1}{9} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \mu &= 12 \int_0^1 x^3 (1-x) dx \\ &= \frac{3}{5} \\ \sigma^2 &= 12 \int_0^1 x^4 (1-x) dx - \left( \frac{3}{5} \right)^2 \\ &= \frac{1}{25} \end{aligned}$$

(4)

表が出る確率 $\theta$ のコインを $n$ 回投げて すべて表が出る確率は $\theta^n$ であるから、 これの期待値は、

$$\begin{aligned} \int_0^1 \theta^n f(\theta) d \theta &= 12 \int_0^1 \theta^{n+2} (1- \theta) d \theta \\ &= \frac{12}{(n+3)(n+4)} \end{aligned}$$

である。