名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻・知能システム学専攻 2017年8月実施 確率・統計

标签：

• Nagoya-University
• Poisson-Distribution
• Normal-Distribution
• Moment-Generating-Function

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，无法从当前文件完整还原全部题干。根据现有解答，可确认的问题范围如下。

1. 某事件在 10 分钟内的发生次数服从均值为 $5$ 的泊松分布，求其恰好发生 3 次的概率。
2. 第 [2] 题的题干与解答均缺失，现有资料不足以还原。
3. 设 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$：
   1. 求 $X$ 的矩母函数 $M_X(t)$；
   2. 对与 $X$ 独立且同分布的随机变量 $Y$，令 $Z=X+Y$，利用矩母函数求 $Z$ 的分布。

考点

• 泊松分布：根据给定时间区间内的平均发生次数计算指定次数的概率。
• 矩母函数：由定义 $M_X(t)=E[e^{tX}]$ 推导正态随机变量的矩母函数。
• 独立随机变量之和：利用独立性将和的矩母函数分解，并据此识别所得分布。
• 正态分布的封闭性：理解独立正态变量相加后均值与方差的变化。

Kai

[1]

10分間でその事象が発生する確率の確率分布は、平均5のポアソン分布である。 よって、3回発生する確率は、

$$\begin{aligned} \frac{5^3 e^{-5}}{3!} &\approx 0.14 \end{aligned}$$

である。

[2]

[3]

(1)

求めるモーメント母関数 $M_X(t)$ は、

$$\begin{aligned} M_X(t) &= E \left[ e^{tX} \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty e^{tx} e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty e^{ - \frac{x^2 - 2 ( \mu + \sigma^2 t ) x + \mu^2}{2 \sigma^2}} dx \\ &= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{(x - (\mu + \sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2}} dx \\ &= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \end{aligned}$$

となる。

(2)

求めるモーメント母関数 $M_Z(t)$ は、

$$\begin{aligned} M_Z(t) &= E \left[ e^{tZ} \right] \\ &= E \left[ e^{t(X+Y)} \right] \\ &= E \left[ e^{tX} \right] E \left[ e^{tY} \right] \\ &= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \cdot e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \\ &= e^{2 \mu t + \sigma^2 t^2} \end{aligned}$$

となる。 したがって、 $Z$ は正規分布 $N(2 \mu, 2 \sigma^2)$ に従うことがわかる。