名古屋大学情報科学研究科情報システム学専攻 2015年8月実施確率・統計 [3]

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思齐塾, 祭音Myyura

確率変数 $X, Y$ の同時確率密度関数 $f_{X,Y}(x,y)$ が次式で与えられている。但し、 $c$ は定数とする。これについて、以下の問いに答えよ。

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} ce^{-x-y}, & 0 \leq x \leq y \\ 0, & その他 \end{cases}

(1) $c$ の値を求めよ。

(2) $Y$ の周辺確率密度関数 $f_Y(y)$ を求めよ。

(3) $X$ と $Y$ が独立であるか否かを、理由とともに答えよ。

随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度函数为

f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} ce^{-x-y},&0\le x\le y,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}

其中 $c$ 为常数。

(1)

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dxdy = 1

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} ce^{-x-y} dx dy = 1

\int_{0}^{\infty} c e^{-y} \int_{0}^{y} e^{-x} dx dy = 1

\int_{0}^{\infty} c e^{-y} [-e^{-x}]_{0}^{y} dy = 1

\int_{0}^{\infty} c e^{-y} (-e^{-y} + 1) dy = 1

\int_{0}^{\infty} c (e^{-y} - e^{-2y}) dy = 1

c[-e^{-y} + \frac{1}{2}e^{-2y}]_{0}^{\infty} = 1

c[0 - (-1 + \frac{1}{2})] = 1

c(\frac{1}{2}) = 1

c = 2

(2)

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx

f_Y(y) = \int_{0}^{y} 2e^{-x-y} dx, y>0

f_Y(y) = 2e^{-y} \int_{0}^{y} e^{-x} dx = 2e^{-y} [-e^{-x}]_{0}^{y} = 2e^{-y} (-e^{-y} + 1) = 2(e^{-y} - e^{-2y}), y>0

f_Y(y) = \begin{cases} 2(e^{-y} - e^{-2y}), & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}

(3)

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy

f_X(x) = \int_{x}^{\infty} 2e^{-x-y} dy, x>0

f_X(x) = 2e^{-x} \int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = 2e^{-x} [-e^{-y}]_{x}^{\infty} = 2e^{-x} (0 + e^{-x}) = 2e^{-2x}, x>0

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x>0 \\ 0, & x\leq 0 \end{cases}

f_X(x)f_Y(y) = 4e^{-2x}(e^{-y}-e^{-2y}) \neq f_{X,Y}(x,y)

$X$ と $Y$ は独立ではない