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名古屋大学 情報科学研究科 情報システム学専攻 2015年8月実施 解析・線形代数 [3]

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の条件を満たす複素数 z=x+iyz = x + iy について、以下の問いに答えよ。ただし、 RR は実数の集合、 ii は虚数単位を表す。

z+1z∈Rz + \frac{1}{z} \in R

(a) z+1z=u+ivz + \frac{1}{z} = u + iv とおくとき、 u,vu, v を x,yx, y を用いて表せ。

(b) zz が複素平面上でえがく図形を求め、その概形を図示せよ。

(c) ∣z−1∣≤2|z - 1| \leq 2 であるとき、 ∣z−2+i∣|z - 2 + i| の最大値および最小値を求めよ。

题目描述​

设复数 z=x+iyz=x+iy 满足

z+1z∈R,z+\frac1z\in\mathbb R,

其中 R\mathbb R 为实数集，ii 为虚数单位；该条件同时意味着 z≠0z\ne0。

  1. 令

    z+1z=u+iv,z+\frac1z=u+iv,

    用 x,yx,y 表示 u,vu,v；

  2. 求所有满足上述实数条件的 zz 在复平面上构成的图形，并画出其大致形状；

  3. 在上述条件之外再要求 ∣z−1∣≤2|z-1|\le2，求 ∣z−2+i∣|z-2+i| 的最大值与最小值。

Kai​

(a) z+1z=x+iy+1x+iy=x+iy+x−iyx2+y2=x+xx2+y2+i(y−yx2+y2)z + \frac{1}{z} = x + iy + \frac{1}{x + iy} = x + iy + \frac{x - iy}{x^2 + y^2} = x + \frac{x}{x^2 + y^2} + i(y - \frac{y}{x^2 + y^2})

u=x+xx2+y2,v=y−yx2+y2u = x + \frac{x}{x^2 + y^2}, v = y - \frac{y}{x^2 + y^2}

(b) z+1z∈Rz + \frac{1}{z} \in R より、 v=y−yx2+y2=0v = y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0

y(1−1x2+y2)=0y(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}) = 0

y=0y = 0 または x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

y=0y = 0 は実軸を表す、 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 は原点中心半径1の円を表す。 ただし， z=0z=0 を除外する条件より、 x=0,y=0x=0, y=0 は除く。

単位円と原点を除く実軸

(c) (b) の条件と ∣z−1∣≤2|z-1|\le2 を同時に満たす集合は、単位円全体と実軸上の [−1,3]∖{0}[-1,3]\setminus\{0\} の合併である。求める量は点 2−i2-i までの距離である。

実軸部分では

∣z−2+i∣2=(x−2)2+1,−1≤x≤3,x≠0.|z-2+i|^2=(x-2)^2+1,\qquad -1\le x\le3,\quad x\ne0.

したがって、最小値は x=2x=2 で 11、最大値は x=−1x=-1 で 10\sqrt{10} となる。

単位円部分では三角不等式と逆三角不等式より

5−1≤∣z−(2−i)∣≤5+1.\sqrt5-1\le |z-(2-i)|\le\sqrt5+1.

下限は z=(2−i)/5z=(2-i)/\sqrt5、上限は z=(−2+i)/5z=(-2+i)/\sqrt5 で達成される。これらはどちらも ∣z−1∣≤2|z-1|\le2 を満たす。 1<5−11<\sqrt5-1 および 10<5+1\sqrt{10}<\sqrt5+1 より、全体での答えは

min⁡∣z−2+i∣=1,max⁡∣z−2+i∣=5+1.\boxed{\min |z-2+i|=1,\qquad \max |z-2+i|=\sqrt5+1}.
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