名古屋大学 情報科学研究科 情報システム学専攻 2015年8月実施 解析・線形代数 [2]

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• 名古屋大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化
• 二次型
• 正交矩阵

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の2次形式について、以下の問いに答えよ。ただし、 $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $x' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ とし、 $^t x$ で $x$ の転置を表す。

$$Q(x, y) = x^2 - 2\sqrt{3}xy - y^2 \quad (1)$$

(a) 式(1)は、対称行列 $A$ を用いて $Q(x, y) = {}^t xAx$ と表せる。 $A$ のすべての固有値を求めよ。

(b) (a) の $A$ を対角化する直交行列を求め、 $A$ を対角化せよ。

(c) 式(1)は、ある線形変換 $x = Ux'$ により標準形、すなわち、 $x'y'$ の項を含まない2次形式で表せる。式(1)を標準形に直せ。

(d) $Q(x, y) = 2$ の概形を図示せよ。

出典：名古屋大学 入学試験問題

题目描述

给定二次型

$$Q(x,y)=x^2-2\sqrt3xy-y^2. \tag{1}$$

记

$$\boldsymbol x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol x'=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix},$$

并用 ${}^{\mathsf T}\boldsymbol x$ 表示 $\boldsymbol x$ 的转置。

1. 式 (1) 可由某个实对称矩阵 $A$ 写成

   $$Q(x,y)={}^{\mathsf T}\boldsymbol x A\boldsymbol x.$$

   求 $A$ 的全部特征值；

2. 求一个使 $A$ 对角化的正交矩阵，并写出对角化结果；

3. 通过某个线性变换 $\boldsymbol x=U\boldsymbol x'$，把式 (1) 化为不含 $x'y'$ 项的标准形；

4. 画出曲线 $Q(x,y)=2$ 的大致形状。

Kai

( a ) 二次形式 $Q(x,y)$ は

$$Q(x,y)={}^{t}xAx$$

と表され，対応する対称行列は

$$A= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$$

である．

$A$ の固有値を求めるために特性方程式

$$\det(A-\lambda I)=0$$

を計算すると，

$$\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= \begin{vmatrix} 1-\lambda & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3} & -1-\lambda \end{vmatrix} \\ &=(1-\lambda)(-1-\lambda)-3 \\ &=\lambda^2-4 \end{aligned}$$

となる．よって，

$$\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=-2$$

を得る．

( b ) $\lambda_1=2$ に対応する固有ベクトル $v_1$ は

$$(A-2I)v_1=0$$

より，

$$\begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3} & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

を解くことで求められる．

$$-x_1-\sqrt{3}y_1=0$$

より，

$$v_1= \begin{pmatrix} -\sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$

ととれる．正規化すると，

$$u_1=\frac12 \begin{pmatrix} -\sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$

である．

同様に， $\lambda_2=-2$ に対応する固有ベクトル $v_2$ は

$$(A+2I)v_2=0$$

すなわち，

$$\begin{pmatrix} 3 & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

より，

$$3x_2-\sqrt{3}y_2=0$$

を満たす．したがって，

$$v_2= \begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$

ととれ，正規化すると

$$u_2=\frac12 \begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$

となる．

以上より，直交行列

$$U= \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12\\ \frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

を用いれば，

$$U^{T}AU= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$

と対角化される．

( c ) この直交変換による標準形は

$$Q=2(x')^2-2(y')^2$$

である．

( d ) $Q(x,y)=2$ は

$$2(x')^2-2(y')^2=2$$

すなわち，

$$(x')^2-(y')^2=1$$

と書ける．これは双曲線を表す．

元の $xy$ 座標では、頂点は $\pm(-\sqrt3/2,1/2)$ であり、漸近線は

$$y=(-\sqrt3+2)x,\qquad y=(-\sqrt3-2)x$$

である。