名古屋大学 情報科学研究科 情報システム学専攻 2015年8月実施 解析・線形代数 [1]

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の極座標の方程式で表される曲線について、以下の問いに答えよ。

$$r = 1 + \cos \theta \quad (0 \leq \theta \leq 2\pi)$$

(a) 曲線の概形を図示せよ。 (b) 曲線の長さを求めよ。

出典：名古屋大学 入学試験問題

题目描述

极坐标曲线由

$$r=1+\cos\theta,\qquad0\le\theta\le2\pi$$

给出。

1. 画出该曲线的大致形状；
2. 求该曲线的长度。

Kai

( a ) 極方程式

$$r=1+\cos\theta$$

で表される曲線はカージオイド（心臓形曲線）である．

( b ) 極方程式 $r=f(\theta)$ により表される曲線の弧長は，

$$L=\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$$

で与えられる．

ここでは

$$r=1+\cos\theta,\qquad \frac{dr}{d\theta}=-\sin\theta$$

であるから，

$$\begin{aligned} L &=\int_0^{2\pi} \sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\,d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \sqrt{1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta}\,d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \sqrt{2+2\cos\theta}\,d\theta \end{aligned}$$

ここで，

$$2+2\cos\theta=4\cos^2\frac{\theta}{2}$$

より，

$$L=\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta =2\int_0^{2\pi}\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta$$

となる．

$\cos\frac{\theta}{2}$ は $[0,\pi]$ で正， $[\pi,2\pi]$ で負であるから，

$$\begin{aligned} L &=2\left( \int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta -\int_{\pi}^{2\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta \right) \\ &=2\left( 2\sin\frac{\theta}{2}\Big|_0^{\pi} -2\sin\frac{\theta}{2}\Big|_{\pi}^{2\pi} \right) \\ &=4\left( \sin\frac{\pi}{2}-\sin0-\sin\pi+\sin\frac{\pi}{2} \right) \\ &=4(1+1)=8 \end{aligned}$$

したがって，この曲線の長さは

$$8$$

である．