名古屋大学情報科学研究科情報システム学専攻 2014年8月実施確率・統計 [3]

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思齐塾, 祭音Myyura

$X, Y$ は互いに独立で同一の分布に従う確率変数であり、 $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ が次式で与えられている。以下の問いに答えよ。

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x} & (0 \leq x) \\ 0 & (その他) \end{cases}

(1) 累積分布関数 $F_X(x)$ を求めよ。 (2) 確率変数 $Z = \min\{X, Y\}$ の累積分布関数 $F_Z(z)$ を求めよ。

随机变量 $X,Y$ 相互独立且服从同一分布， $X$ 的概率密度函数为

f_X(x)= \begin{cases} 2e^{-2x},&x\ge0,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

(1) 確率変数 $X$ の確率密度関数が

f_X(x)= \begin{cases} 2e^{-2x}, & x\ge 0,\\ 0, & x<0 \end{cases}

で与えられているとする．分布関数 $F_X(x)$ は

F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt

で定義される．

$x<0$ のときは

F_X(x)=0

である．一方， $x\ge 0$ のとき，

\begin{aligned} F_X(x) &=\int_{0}^{x}2e^{-2t}\,dt \\ &=\bigl[-e^{-2t}\bigr]_{0}^{x} \\ &=1-e^{-2x} \end{aligned}

となる．したがって，

F_X(x)= \begin{cases} 1-e^{-2x}, & x\ge 0,\\ 0, & x<0 \end{cases}

である．

(2) $X$ と $Y$ は独立で同一の分布に従う確率変数であるから， $Y$ の分布関数 $F_Y(y)$ は $F_X(y)$ と一致する．

Z=\min(X,Y)

とおき， $Z$ の分布関数 $F_Z(z)$ を求める．

\begin{aligned} F_Z(z) &=P(Z\le z) \\ &=1-P(Z>z) \\ &=1-P(X>z,\ Y>z) \end{aligned}

である． $X$ と $Y$ は独立であるから，

P(X>z,\ Y>z)=P(X>z)P(Y>z)

が成り立つ．

(1) の結果より，

P(X>z)=1-F_X(z)= \begin{cases} e^{-2z}, & z\ge 0,\\ 1, & z<0 \end{cases}

であり，同様に $P(Y>z)=P(X>z)$ である．したがって，

P(X>z,\ Y>z)= \begin{cases} e^{-4z}, & z\ge 0,\\ 1, & z<0 \end{cases}

となる．

以上より，

F_Z(z) =1-P(X>z,\ Y>z) = \begin{cases} 1-e^{-4z}, & z\ge 0,\\ 0, & z<0 \end{cases}

を得る．