名古屋大学情報科学研究科情報システム学専攻 2014年8月実施確率・統計 [2]

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思齐塾, 祭音Myyura

確率変数 $X, Y$ の同時確率密度関数 $f_{X,Y}(x, y)$ が次式で与えられている. 但し、 $c$ は定数とする. 以下の問いに答えよ.

f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} c(y - x) & (0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 3) \\ 0 & (その他) \end{cases}

(1) 定数 $c$ の値を求めよ.

(2) 周辺確率密度関数 $f_Y(y)$ を求めよ.

(3) 条件付き確率密度関数 $f_{X|Y}(x | y)$ を求めよ.

随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度函数为

f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c(y-x),&0\le x\le1,\ 1\le y\le3,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}

其中 $c$ 为常数。

(1) $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) dxdy = 1$ であるから,

\int_1^3 \int_0^1 c(y - x) dxdy = 1

\int_1^3 c[yx - \frac{x^2}{2}]_0^1 dy = 1

\int_1^3 c(y - \frac{1}{2}) dy = 1

c[\frac{y^2}{2} - \frac{y}{2}]_1^3 = 1

c[(\frac{9}{2} - \frac{3}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})] = 1

c \cdot \frac{6}{2} = 1

3c = 1

c = \frac{1}{3}

(2) 周辺確率密度関数 $f_Y(y)$ は,

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) dx

$1 \leq y \leq 3$ のとき,

f_Y(y) = \int_0^1 \frac{1}{3}(y - x) dx = \frac{1}{3}[yx - \frac{x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{3}(y - \frac{1}{2}) = \frac{2y - 1}{6}

よって,

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2y - 1}{6} & (1 \leq y \leq 3) \\ 0 & (その他) \end{cases}

(3) 条件付き確率密度関数 $f_{X|Y}(x | y)$ は,

f_{X|Y}(x | y) = \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)}

$0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 3$ のとき,

f_{X|Y}(x | y) = \frac{\frac{1}{3}(y - x)}{\frac{2y - 1}{6}} = \frac{2(y - x)}{2y - 1}

よって,

f_{X|Y}(x | y) = \begin{cases} \frac{2(y - x)}{2y - 1} & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (x<0\text{ または }x>1) \end{cases}\qquad(1\le y\le3).

$y\notin[1,3]$ では $f_Y(y)=0$ なので、この密度の比から条件付き密度は定まらない。