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名古屋大学 情報科学研究科 情報システム学専攻 2014年8月実施 解析・線形代数 [3]

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の複素関数について、以下の問いに答えよ。ただし、 ii は虚数単位を表す。

w=z2(1)w = z^2 \qquad (1)

(a) z=x+iy,w=u+ivz = x + iy, w = u + iv とおくとき、 u,vu, v を x,yx, y を用いて表せ。

(b) (1) により、 zz 平面上の直線 z=1+it(−∞<t<∞)z = 1 + it (-\infty < t < \infty) を ww 平面上に写してできる図形を求め、その概形を図示せよ。

(c) (1) により、 zz 平面上の点 1,i,1+i1, i, 1+i を頂点とする三角形の周を ww 平面上に写してできる図形を求め、その概形を図示せよ。

出典：名古屋大学 入学試験問題

题目描述​

考察复变换

w=z2,(1)w=z^2, \tag{1}

其中 ii 为虚数单位。

  1. 令 z=x+iy, w=u+ivz=x+iy,\ w=u+iv，用 x,yx,y 表示 u,vu,v；

  2. 在变换 (1) 下，将 zz 平面中的直线

    z=1+it,−∞<t<∞,z=1+it,\qquad-\infty<t<\infty,

    映到 ww 平面。求像集所表示的图形，并画出其大致形状；

  3. 在变换 (1) 下，将 zz 平面中以 1,i,1+i1,i,1+i 为顶点的三角形边界映到 ww 平面。求该边界的像，并画出其大致形状。

Kai​

( a ) 写像

w=z2w=z^2

を考える． z=x+iy, w=u+ivz=x+iy,\ w=u+iv とおくと，

w=(x+iy)2=x2−y2+2ixyw=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy

より，

u=x2−y2,v=2xyu=x^2-y^2,\qquad v=2xy

を得る．

( b ) z=1+it (t∈R)z=1+it\ (t\in\mathbb{R}) を写像 w=z2w=z^2 により移す．

w=(1+it)2=1−t2+2itw=(1+it)^2=1-t^2+2it

であるから，

u=1−t2,v=2tu=1-t^2,\qquad v=2t

となる．ここで t=v2t=\frac{v}{2} を代入すると，

u=1−(v2)2=1−v24u=1-\left(\frac{v}{2}\right)^2 =1-\frac{v^2}{4}

すなわち，

v2=4(1−u)v^2=4(1-u)

を得る．これは ww 平面上の放物線であり，頂点は (1,0)(1,0) である．

( c ) まず，各点の像を求める．

z=1 ⇒ w=1,z=i ⇒ w=−1,z=1+i ⇒ w=2iz=1 \ \Rightarrow\ w=1,\qquad z=i \ \Rightarrow\ w=-1,\qquad z=1+i \ \Rightarrow\ w=2i

である．

次に， zz 平面上の各線分の像を調べる．

(i) 点 11 から ii への線分は

z=(1−t)+it(0≤t≤1)z=(1-t)+it\qquad(0\le t\le1)

と表される．これを w=z2w=z^2 に代入すると，

w=((1−t)+it)2=(1−2t)+2it(1−t)w=((1-t)+it)^2 =(1-2t)+2it(1-t)

となる．したがって，

u=1−2t,v=2t(1−t)u=1-2t,\qquad v=2t(1-t)

である． t=1−u2t=\frac{1-u}{2} を代入すると，

v=1−u22v=\frac{1-u^2}{2}

すなわち，

u2=1−2vu^2=1-2v

を得る．

(ii) 点 ii から 1+i1+i への線分は

z=t+i(0≤t≤1)z=t+i\qquad(0\le t\le1)

と表される．

w=(t+i)2=t2−1+2tiw=(t+i)^2=t^2-1+2ti

より，

u=t2−1,v=2tu=t^2-1,\qquad v=2t

である． t=v2t=\frac{v}{2} を代入すると，

u=v24−1u=\frac{v^2}{4}-1

すなわち，

v2=4(u+1)v^2=4(u+1)

を得る．

(iii) 点 1+i1+i から 11 への線分は

z=1+i(1−t)(0≤t≤1)z=1+i(1-t)\qquad(0\le t\le1)

と表される．

w=(1+i(1−t))2=(2t−t2)+2i(1−t)w=(1+i(1-t))^2 =(2t-t^2)+2i(1-t)

より，

u=2t−t2,v=2(1−t)u=2t-t^2,\qquad v=2(1-t)

である． t=1−v2t=1-\frac{v}{2} を代入すると，

u=1−v24u=1-\frac{v^2}{4}

すなわち，

v2=4(1−u)v^2=4(1-u)

を得る．

各弧の範囲を含めると、像は次の3本の放物線弧の合併である。

v=1−u22(−1≤u≤1),u=v24−1(0≤v≤2),u=1−v24(0≤v≤2).v=\frac{1-u^2}{2}\quad(-1\le u\le1),\qquad u=\frac{v^2}{4}-1\quad(0\le v\le2),\qquad u=1-\frac{v^2}{4}\quad(0\le v\le2).

(b) 直線の像と (c) 三角形の周の像

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