名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2024年8月実施 数1 [3]

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題意の要約

出典：名古屋大学公式問題

実 $n\times n$ 行列 $X$ が，任意の非零実ベクトル $x$ に対して $x^TXx>0$ を満たすとき正定値と呼ぶ。 対称性を仮定しない場合にも，正定値行列の固有値は必ず正の実数になるか。 Yes または No を選び，Yes なら証明を，No なら条件を満たす反例とその検証を示す。

Kai

答えは No。例えば

$$X=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$$

を取ると，任意の $x=(u,v)^T\ne0$ に対して

$$x^TXx=u(u-v)+v(u+v)=u^2+v^2>0$$

なので $X$ は題意の定義で正定値である。一方，

$$\det(\lambda I-X)=(\lambda-1)^2+1$$

より固有値は $\boxed{1+i,\ 1-i}$ であり，実数ではない。