名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2023年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$p(t)$ を時刻 $t$ における血液中のある薬の量であるとし、 $p(t)$ は、比例定数を $k(>0)$ として

$$\frac{dp}{dt} = -kp$$

に従って変化するとする。初期投薬量を $p_0$ とすると、投与された薬は時刻 $t=0$ で即座に血液中に吸収され、 $p(0) = p_0$ であるとする。また、一定時間 $T$ ごとに、 $p_0$ の量の薬が追加投与され、投与された薬は、毎回即座に血液中に吸収されるとする。つまり、 $n$ を任意の自然数とし、

$$p(nT) = \lim_{\epsilon \to +0} p(nT - \epsilon) + p_0$$

で表されるとする。

1. $0 \leq t < T$ において、時刻 $t$ での薬の量 $p(t)$ を求めよ。
2. $p(2T)$ を求めよ。
3. $p(nT)$ を求めよ。また、じゅうぶん時間が経過した時の血液中の薬の量を求めよ。
4. $0 \leq t \leq 5T$ での $p(t)$ のグラフの概形を描け。ただし、3)の結果を踏まえ、漸近的な血液中の薬の量との関係がわかるように描くこと。

题目描述

设 $p(t)$ 表示时刻 $t$ 血液中某种药物的量，其变化遵循

$$\frac{dp}{dt}=-kp, \qquad k>0.$$

初次给药量为 $p_0$；药物在 $t=0$ 时立即被吸收入血，因此 $p(0)=p_0$。之后每隔固定时间 $T$ 追加剂量为 $p_0$ 的药物，每次也立即吸收入血。也就是说，对任意自然数 $n$，

$$p(nT) =\lim_{\epsilon\to+0}p(nT-\epsilon)+p_0.$$

1. 在 $0\le t<T$ 上求 $p(t)$；
2. 求 $p(2T)$；
3. 求 $p(nT)$，并说明经过足够长时间后血液中药量的渐近行为；
4. 画出 $0\le t\le5T$ 上 $p(t)$ 的大致图像；结合第 3 问的结果，使图中能够看出它与渐近药量范围之间的关系。

Kai

1. 微分方程式 $\frac{dp}{dt} = -kp$ を解くと、

$$p(t) = Ce^{-kt}$$

初期条件 $p(0) = p_0$ より、 $C = p_0$ 。 したがって、 $0 \leq t < T$ において、 $p(t) = p_0e^{-kt}$ 。

2. $q=e^{-kT}$ とおく。投与直後の値を問題文どおり $p(nT)$ と書けば、

$$p(T)=p_0q+p_0=p_0(1+q).$$

$T<t<2T$ では $p(t)=p(T)e^{-k(t-T)}$ であり、 $t=2T$ でさらに $p_0$ が加わる。したがって

$$\boxed{p(2T)=p_0(1+q+q^2) =p_0(1+e^{-kT}+e^{-2kT})}.$$

3. 漸化式

$$p(nT)=q\,p((n-1)T)+p_0$$

を繰り返すと、

$$\begin{aligned} p(nT) &=p_0(1+q+\cdots+q^n)\\ &=\boxed{p_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}} \end{aligned}$$

よって投与直後の量は

$$\lim_{n\to\infty}p(nT) =\frac{p_0}{1-q} =\frac{p_0}{1-e^{-kT}}$$

である。ただし連続な時刻 $t$ に対して $p(t)$ 自体は一つの定数へ収束しない。 $t=nT+\tau$ （ $0\leq\tau<T$ ）と固定して $n\to\infty$ とすると

$$p(nT+\tau)\longrightarrow \frac{p_0e^{-k\tau}}{1-e^{-kT}}.$$

したがって十分時間が経つと、投与直後の上端

$$p_+=\frac{p_0}{1-e^{-kT}}$$

と、次の投与直前の下端

$$p_-=p_+e^{-kT} =\frac{p_0e^{-kT}}{1-e^{-kT}}$$

の間を周期的に変化する。

4. 各区間 $nT\leq t<(n+1)T$ では $p(t)=p(nT)e^{-k(t-nT)}$ と指数減衰し、 $t=(n+1)T$ で $p_0$ だけ上向きに跳ぶ。 $0\leq t\leq5T$ ではこの鋸歯状の指数曲線を5回描き、各投与直後の頂点は単調に $p_+$ へ、各投与直前の谷は単調に $p_-$ へ近づく。