名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2023年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

微分方程式

$$y' = 1 + x - y \qquad (1)$$

について考える。ただし、 $y' = \frac{dy}{dx}$ である。この微分方程式の解を表す曲線（解曲線）上の点 $(x, y)$ における接線の傾きは $y'$ となる。そして、 $xy$ 平面上の多数の点 $(x, y)$ において、傾きが $y'$ を持つベクトルを描いたものを「ベクトル場(方向場)」という。

1. $y' = c$ とすると、 $1 + x - y = c$ 上の任意の点での、解曲線上の接線の傾きは $c$ である。 $c = -4, -2, 0, 1, 2$ として、ベクトル場を描き、 $y(0) = 5$ を初期条件とする解曲線の概形を描け。

2. 微分方程式(1)の一般解、および、 $y(0) = 5$ を満たす特解を求めよ。

题目描述

考察微分方程

$$y'=1+x-y, \tag{1}$$

其中 $y'=dy/dx$。解曲线上点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $y'$；在 $xy$ 平面的许多点 $(x,y)$ 处画出斜率为相应 $y'$ 的向量，所得图形称为“向量场（方向场）”。

1. 若 $y'=c$，则直线

   $$1+x-y=c$$

   上每一点处的解曲线切线斜率均为 $c$。分别取

   $$c=-4,-2,0,1,2,$$

   画出方向场，并画出满足初始条件 $y(0)=5$ 的解曲线概形；

2. 求微分方程 (1) 的通解，以及满足 $y(0)=5$ 的特解。

Kai

1. 傾きが一定値 $c$ となる等傾線は

$$1+x-y=c,\qquad \text{すなわち}\qquad y=x+1-c$$

である。したがって指定された5本は

$$\begin{array}{c|ccccc} c&-4&-2&0&1&2\\ \hline \text{等傾線}&y=x+5&y=x+3&y=x+1&y=x&y=x-1 \end{array}$$

となり、各直線上にそれぞれ傾き $-4,-2,0,1,2$ の短い線分を描けば方向場が得られる。

初期点 $(0,5)$ では傾きは $-4$ である。後で求める特解 $y=x+5e^{-x}$ より、曲線は $x=\log5$ で最小値

$$y(\log5)=1+\log5$$

をとり、その後増加して $x\to\infty$ で直線 $y=x$ に上側から漸近する。 $x\to-\infty$ では $y\to+\infty$ である。

2. 微分方程式(1)の一般解を求める。

$$y' = 1 + x - y$$

$$\frac{dy}{dx} = 1 + x - y$$

$$\frac{dy}{dx} + y = 1 + x$$

これは線形微分方程式なので、積分因子を求める。 積分因子 $\mu(x)$ は、

$$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$$

両辺に $\mu(x) = e^x$ を掛けると、

$$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x (1 + x)$$

$$\frac{d}{dx} (e^x y) = e^x (1 + x)$$

両辺を積分すると、

$$e^x y = \int e^x (1 + x) dx = \int e^x dx + \int xe^x dx$$

$$\int xe^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$$

したがって、

$$e^x y = e^x + x e^x - e^x + C = x e^x + C$$

$$y = x + Ce^{-x}$$

これが一般解である。

次に、 $y(0) = 5$ を満たす特解を求める。

$$y(0) = 0 + Ce^{-0} = C = 5$$

したがって、特解は

$$y = x + 5e^{-x}$$