名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2023年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$f(x)$ は区間 $[a, b]$ (ただし、 $a<b$ ) で連続で、 $f(x) \geq 0$ とする。 $n$ は $1$ 以上の自然数、 $i = 1, \dots, n$ として、 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ , $x_i = a + i\Delta x$ とすると、定積分

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$$

は、 $xy$ 平面上の $y = f(x)$ , $x = a$ , $x = b$ , $y = 0$ のグラフで囲まれる領域の面積である。このことを用いて、次の極限値を計算せよ。

$$S = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+n} \right\}$$

题目描述

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续且 $f(x)\ge0$，其中 $a<b$。对自然数 $n\ge1$ 及 $i=1,\ldots,n$，令

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}, \qquad x_i=a+i\Delta x.$$

定积分

$$\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$$

等于 $xy$ 平面上由 $y=f(x)$、$x=a$、$x=b$ 与 $y=0$ 围成区域的面积。利用这一事实计算

$$S=\lim_{n\to\infty} \left( \frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{n+n} \right).$$

Kai

We have:

$$S = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{i}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}}$$

This is the Riemann sum for the integral $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$ . Therefore,

$$S = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$$