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名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2023年8月実施 线性代数

标签：

Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

行列 A,B,CA, B, C を n×nn \times n の実行列とする。行列 A,BA, B を対称かつ正定値とする。このとき AA の逆行列 A−1A^{-1} が存在し, A−1A^{-1} は対称かつ正定値である（この事実を以下で用いてよい）。以下をすべて証明せよ:

  1. A+BA + B は対称かつ正定値である。

  2. 行列 CC を可逆とする。このとき, CTACC^T A C は対称かつ正定値である。

  3. A−1−(A+B)−1A^{-1} - (A + B)^{-1} は対称かつ正定値である。なお上の事実をすべて用いてよい。

题目描述​

设 A,B,CA,B,C 为 n×nn\times n 实矩阵，且 A,BA,B 均为对称正定矩阵。可以使用以下事实：A−1A^{-1} 存在，并且 A−1A^{-1} 仍为对称正定矩阵。证明下列全部结论：

  1. A+BA+B 是对称正定矩阵；
  2. 若 CC 可逆，则 CTACC^{\mathsf T}AC 是对称正定矩阵；
  3. A−1−(A+B)−1A^{-1}-(A+B)^{-1} 是对称正定矩阵；本问可以使用上述事实及前面已经证明的全部结论。

Kai​

  1. まず, (A+B)T=AT+BT=A+B(A+B)^T = A^T + B^T = A+B より、 A+BA+B は対称行列である。次に, 任意の x≠0x \neq 0 に対して, xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0x^T (A+B)x = x^T A x + x^T B x > 0 (なぜなら A,BA, B は正定値なので)。したがって, A+BA+B は正定値である。よって, A+BA+B は対称かつ正定値である。

  2. まず, (CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC(C^T A C)^T = C^T A^T (C^T)^T = C^T A C より, CTACC^T A C は対称行列である。次に, 任意の x≠0x \neq 0 に対して, xT(CTAC)x=(Cx)TA(Cx)x^T (C^T A C) x = (Cx)^T A (Cx) である。 CC は可逆なので, Cx≠0Cx \neq 0 である。よって, (Cx)TA(Cx)>0(Cx)^T A (Cx) > 0 (なぜなら AA は正定値なので)。したがって, CTACC^T A C は正定値である。よって, CTACC^T A C は対称かつ正定値である。

  3. D=A−1−(A+B)−1D=A^{-1}-(A+B)^{-1} とおくと、

D=A−1{(A+B)−A}(A+B)−1=A−1B(A+B)−1.D=A^{-1}\{(A+B)-A\}(A+B)^{-1} =A^{-1}B(A+B)^{-1}.

A,B,A+BA,B,A+B はすべて正則なので DD も正則であり、

D−1=(A+B)B−1A=AB−1A+AD^{-1}=(A+B)B^{-1}A=AB^{-1}A+A

となる。 B−1B^{-1} は対称かつ正定値であるから、2) において C=AC=A とすれば AB−1A=ATB−1AAB^{-1}A=A^TB^{-1}A は対称かつ正定値である。したがって 1) より D−1=AB−1A+AD^{-1}=AB^{-1}A+A も対称かつ正定値である。正定値対称行列の逆行列も対称かつ正定値であるという与えられた事実を D−1D^{-1} に適用すると、 DD 、すなわち A−1−(A+B)−1A^{-1}-(A+B)^{-1} は対称かつ正定値である。

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