名古屋大学情報学研究科複雑系科学専攻 2023年8月実施线性代数

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思齐塾, 祭音Myyura

行列

N = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}

は正定値行列ではない。 $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ として $x^TNx$ を計算することでこのことを示せ。

矩阵

N=\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}

不是正定矩阵。令

\boldsymbol x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}.

通过计算 $\boldsymbol x^{\mathsf T}N\boldsymbol x$ 证明这一结论。

正定値行列とは、任意のベクトル $x \neq 0$ に対して $x^T A x > 0$ を満たす行列Aのことである。

x^TNx = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x_1 + 4x_2 \\ 3x_1 - 5x_2 \end{bmatrix}

= x_1(2x_1 + 4x_2) + x_2(3x_1 - 5x_2)

= 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_1x_2 - 5x_2^2

= 2x_1^2 + 7x_1x_2 - 5x_2^2

正定値行列であるためには、常に $2x_1^2 + 7x_1x_2 - 5x_2^2 > 0$ である必要がある。しかし、これは成り立たないことを示すために、特定の $x_1$ と $x_2$ の値を選んで計算する。

例えば、 $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ のとき

2(1)^2 + 7(1)(2) - 5(2)^2 = 2 + 14 - 20 = -4 < 0

したがって、 $N$ は正定値行列ではない。