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名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2023年8月実施 数2 [2]

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

出典：名古屋大学公式問題

θ\theta によりパラメータ表示された、次の曲線について考えよう。ただし、 a,b>0a, b > 0 とする。

x=ae−bθcos⁡θ,y=ae−bθsin⁡θx = ae^{-b\theta} \cos\theta, \quad y = ae^{-b\theta} \sin\theta

  1. xyxy 平面上に、 0≤θ≤4π0 \leq \theta \leq 4\pi での (x,y)(x, y) の軌跡の概形を描け。

  2. 原点 (0,0)(0, 0) と (x,y)(x, y) を結ぶ線分の長さを rr とする。 rr と θ\theta の関係式を求めよ。

  3. θ\theta が α\alpha から β(>α)\beta ( > \alpha) まで変化するときに、原点 (0,0)(0, 0) と (x,y)(x, y) を結ぶ線分が掃く部分の面積を Sα,βS_{\alpha, \beta} とする。微小角 dθd\theta に対して、 Sθ,θ+dθ=12r2dθS_{\theta, \theta+d\theta} = \frac{1}{2}r^2 d\theta と表されることを示せ。

  4. S0,πS_{0, \pi} を求めよ。

  5. θ\theta が α\alpha から β(>α)\beta ( > \alpha) まで変化するときの (x,y)(x, y) の軌跡の長さを Lα,βL_{\alpha, \beta} とする。微小角 dθd\theta に対して、 Lθ,θ+dθ=a2(b2+1)e−bθdθL_{\theta, \theta+d\theta} = \sqrt{a^2(b^2 + 1)} e^{-b\theta} d\theta と表されることを示せ。

  6. L0,∞L_{0, \infty} を求めよ。

题目描述​

考察由 θ\theta 参数化的曲线

x=ae−bθcos⁡θ,y=ae−bθsin⁡θ,x=ae^{-b\theta}\cos\theta,\qquad y=ae^{-b\theta}\sin\theta,

其中 a,b>0a,b>0。

  1. 在 xyxy 平面上画出 0≤θ≤4π0\le\theta\le4\pi 时点 (x,y)(x,y) 的轨迹概形；

  2. 以 rr 表示原点 (0,0)(0,0) 与 (x,y)(x,y) 之间线段的长度，求 rr 与 θ\theta 的关系；

  3. 当 θ\theta 从 α\alpha 变化到 β\beta（β>α\beta>\alpha）时，以 Sα,βS_{\alpha,\beta} 表示原点到 (x,y)(x,y) 的线段扫过的面积。证明对微小角 dθd\theta，

    Sθ,θ+dθ=12r2 dθ;S_{\theta,\theta+d\theta} =\frac12r^2\,d\theta;

  4. 求 S0,πS_{0,\pi}；

  5. 当 θ\theta 从 α\alpha 变化到 β\beta（β>α\beta>\alpha）时，以 Lα,βL_{\alpha,\beta} 表示 (x,y)(x,y) 轨迹的长度。证明对微小角 dθd\theta，

    Lθ,θ+dθ=a2(b2+1) e−bθ dθ;L_{\theta,\theta+d\theta} =\sqrt{a^2(b^2+1)}\,e^{-b\theta}\,d\theta;

  6. 求 L0,∞L_{0,\infty}。

Kai​

  1. 軌跡は原点に向かって渦巻くような形になる。 a,b>0a, b > 0 なので、 θ\theta が大きくなるにつれて、 e−bθe^{-b\theta} の値は小さくなる。

0から4πまでの対数螺旋

図は b=0.13b=0.13 の代表例で，座標を aa で割って表示している。矢印は θ\theta が増える向きを示す。

  1. r=x2+y2=(ae−bθcos⁡θ)2+(ae−bθsin⁡θ)2=a2e−2bθ(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=ae−bθr = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(ae^{-b\theta}\cos\theta)^2 + (ae^{-b\theta}\sin\theta)^2} = \sqrt{a^2e^{-2b\theta}(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = ae^{-b\theta} 。したがって、 r=ae−bθr = ae^{-b\theta} 。

  2. 微小区間 [θ,θ+Δθ][\theta,\theta+\Delta\theta] では，極座標の面積要素が u du dϕu\,du\,d\phi なので，

Sθ,θ+Δθ=∫θθ+Δθ∫0r(ϕ)u du dϕ=12∫θθ+Δθr(ϕ)2 dϕ=12r(θ)2Δθ+O((Δθ)2).S_{\theta,\theta+\Delta\theta} =\int_\theta^{\theta+\Delta\theta}\int_0^{r(\phi)}u\,du\,d\phi =\frac12\int_\theta^{\theta+\Delta\theta}r(\phi)^2\,d\phi =\frac12r(\theta)^2\Delta\theta+O((\Delta\theta)^2).

したがって面積の微分は dS=12r2 dθdS=\frac12r^2\,d\theta である。

  1. S0,π=∫0π12r2dθ=12∫0π(ae−bθ)2dθ=a22∫0πe−2bθdθ=a22[e−2bθ−2b]0π=a22(e−2bπ−2b−1−2b)=a24b(1−e−2bπ)S_{0, \pi} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}r^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (ae^{-b\theta})^2 d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\pi} e^{-2b\theta} d\theta = \frac{a^2}{2} \left[ \frac{e^{-2b\theta}}{-2b} \right]_0^{\pi} = \frac{a^2}{2} \left( \frac{e^{-2b\pi}}{-2b} - \frac{1}{-2b} \right) = \frac{a^2}{4b}(1 - e^{-2b\pi})

  2. 弧長の微分は dL=(dx)2+(dy)2dL=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} である。 dxdθ=−bae−bθcos⁡θ−ae−bθsin⁡θ=−ae−bθ(bcos⁡θ+sin⁡θ)\frac{dx}{d\theta} = -bae^{-b\theta}\cos\theta - ae^{-b\theta}\sin\theta = -ae^{-b\theta}(b\cos\theta + \sin\theta) 。 dydθ=−bae−bθsin⁡θ+ae−bθcos⁡θ=ae−bθ(cos⁡θ−bsin⁡θ)\frac{dy}{d\theta} = -bae^{-b\theta}\sin\theta + ae^{-b\theta}\cos\theta = ae^{-b\theta}(\cos\theta - b\sin\theta) 。 (dxdθ)2+(dydθ)2=a2e−2bθ(b2cos⁡2θ+2bcos⁡θsin⁡θ+sin⁡2θ+cos⁡2θ−2bsin⁡θcos⁡θ+b2sin⁡2θ)=a2e−2bθ(b2+1)(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = a^2e^{-2b\theta}(b^2\cos^2\theta + 2b\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta - 2b\sin\theta\cos\theta + b^2\sin^2\theta) = a^2e^{-2b\theta}(b^2 + 1) 。 Lθ,θ+dθ=a2(b2+1)e−2bθ(dθ)2=a2(b2+1)e−bθdθL_{\theta, \theta+d\theta} = \sqrt{a^2(b^2+1)e^{-2b\theta}(d\theta)^2} = \sqrt{a^2(b^2+1)}e^{-b\theta} d\theta 。

  3. L0,∞=∫0∞a2(b2+1)e−bθdθ=ab2+1∫0∞e−bθdθ=ab2+1[e−bθ−b]0∞=ab2+1(0−1−b)=ab2+1bL_{0, \infty} = \int_{0}^{\infty} \sqrt{a^2(b^2+1)} e^{-b\theta} d\theta = a\sqrt{b^2+1} \int_{0}^{\infty} e^{-b\theta} d\theta = a\sqrt{b^2+1} \left[ \frac{e^{-b\theta}}{-b} \right]_{0}^{\infty} = a\sqrt{b^2+1} \left( 0 - \frac{1}{-b} \right) = \frac{a\sqrt{b^2+1}}{b}

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