名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2023年8月実施 数1 [1]

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• 名古屋大学
• 行列式

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

出典：名古屋大学公式問題

共通の定義（題意の要約）：$N\times N$ 行列 $X$ の $i$ 行 $j$ 列成分を $X_j^i$ と書き，

$$\det X=\sum_{j_1=1}^N\cdots\sum_{j_N=1}^N \epsilon_{j_1,\ldots,j_N}X_{j_1}^1\cdots X_{j_N}^N$$

とする。$\epsilon$ は $(j_1,\ldots,j_N)$ が $(1,\ldots,N)$ の偶置換なら $1$， 奇置換なら $-1$，重複がある場合は $0$ である。

以下の行列 $F$ の行列式 $\det F$ を求めよ。

$$F = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

题目描述

求矩阵

$$F= \begin{pmatrix} 0&3&0&0&0\\ 0&0&5&0&2\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&4&4\\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix}$$

的行列式 $\det F$。

Kai

To calculate the determinant of matrix $F$ , we can use cofactor expansion.

$$\begin{aligned} \det(F) &= -3 \begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \\ &= 3 \begin{vmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \\ &= -3 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} =-3(20-2)=-54. \end{aligned}$$

Therefore, $\det(F) = -54$ .