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名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2022年8月実施 微分方程

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

被食者と捕食者の個体数をそれぞれ xx , yy として、これらの時間変化をモデル化した、次の2次元非線形力学系について考えよう。ただし、 a,b,c,d>0a, b, c, d > 0 とし、 x,y>0x, y > 0 の解を考えることとする。

dxdt=ax−bxy\frac{dx}{dt} = ax - bxy
dydt=−cy+dxy\frac{dy}{dt} = -cy + dxy

  1. この力学系において V(x,y)=cln⁡x+aln⁡y−dx−byV(x, y) = c \ln x + a \ln y - dx - by は時間によらず一定であることを示せ。ただし、 ln⁡\ln は自然対数を表す。

  2. この力学系の不動点 (x0,y0)(x_0, y_0) を求めよ。

  3. 1)の結果、および、2)で求めた不動点まわりの dxdt,dydt\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} の符号を考えることにより、 xyxy 平面上での解軌道 (x,y)(x, y) の振る舞いを説明し、 (x0,y02),(x0,y03),(x0,y04)(x_0, \frac{y_0}{2}), (x_0, \frac{y_0}{3}), (x_0, \frac{y_0}{4}) の3つの初期値から始まる解軌道を描け。

题目描述​

以 x,yx,y 分别表示被捕食者和捕食者的种群数量，考察二维非线性动力系统

dxdt=ax−bxy,dydt=−cy+dxy,\frac{dx}{dt}=ax-bxy, \qquad \frac{dy}{dt}=-cy+dxy,

其中 a,b,c,d>0a,b,c,d>0，且只考虑 x,y>0x,y>0 的解。

  1. 证明

    V(x,y)=cln⁡x+aln⁡y−dx−byV(x,y)=c\ln x+a\ln y-dx-by

    沿该系统的解不随时间变化，其中 ln⁡\ln 表示自然对数；

  2. 求该系统的不动点 (x0,y0)(x_0,y_0)；

  3. 利用第 1 问的结论以及第 2 问所得不动点周围 dx/dt,dy/dtdx/dt,dy/dt 的符号，说明解轨道 (x,y)(x,y) 在 xyxy 平面上的行为，并画出分别从

    (x0,y02),(x0,y03),(x0,y04)\left(x_0,\frac{y_0}{2}\right),\qquad \left(x_0,\frac{y_0}{3}\right),\qquad \left(x_0,\frac{y_0}{4}\right)

    三个初始值出发的解轨道。

Kai​

  1. dVdt=∂V∂xdxdt+∂V∂ydydt\frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial V}{\partial y} \frac{dy}{dt}
∂V∂x=cx−d\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{c}{x} - d
∂V∂y=ay−b\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{a}{y} - b
dVdt=(cx−d)(ax−bxy)+(ay−b)(−cy+dxy)=ac−bcxyx−adx+bdxy−acyy+bcy+adx−bdxy=ac−bcy−adx+bdxy−ac+bcy+adx−bdxy=0\frac{dV}{dt} = (\frac{c}{x} - d)(ax - bxy) + (\frac{a}{y} - b)(-cy + dxy) = ac - \frac{bcxy}{x} - adx + bdxy - \frac{acy}{y} + bcy + adx -bdxy = ac - bcy - adx + bdxy -ac + bcy + adx -bdxy = 0

Therefore, V(x,y) is a constant.

  1. To find the fixed point, we need to solve dxdt=0\frac{dx}{dt} = 0 and dydt=0\frac{dy}{dt} = 0 .
ax−bxy=0  ⟹  x(a−by)=0ax - bxy = 0 \implies x(a - by) = 0
−cy+dxy=0  ⟹  y(−c+dx)=0-cy + dxy = 0 \implies y(-c + dx) = 0

Since x,y>0x, y > 0 , we have

a−by=0  ⟹  y=aba - by = 0 \implies y = \frac{a}{b}
−c+dx=0  ⟹  x=cd-c + dx = 0 \implies x = \frac{c}{d}

So the fixed point is (x0,y0)=(cd,ab)(x_0, y_0) = (\frac{c}{d}, \frac{a}{b}) .

  1. x0=c/d, y0=a/bx_0=c/d,\ y_0=a/b と書けば
x′=bx(y0−y),y′=dy(x−x0).x'=bx(y_0-y),\qquad y'=dy(x-x_0).

したがって、 (x0,y0)(x_0,y_0) の右下では右上、右上では左上、左上では左下、左下では右下へ進む。よって軌道の向きは反時計回りである。

また

Vxx=−cx2<0,Vyy=−ay2<0,Vxy=0V_{xx}=-\frac{c}{x^2}<0,\qquad V_{yy}=-\frac{a}{y^2}<0,\qquad V_{xy}=0

なので、 VV は (x0,y0)(x_0,y_0) で狭義の最大値をとる。正の第1象限の境界または無限遠では V→−∞V\to-\infty であるから、平衡点以外の等位線 V(x,y)=CV(x,y)=C は (x0,y0)(x_0,y_0) を囲む閉曲線となる。解はこの等位線上を反時計回りに周期運動する。

指定された初期値に対応する3軌道は

V(x,y)=V(x0,y0j),j=2,3,4V(x,y)=V\left(x_0,\frac{y_0}{j}\right), \qquad j=2,3,4

という3本の閉曲線である。いずれも点 (x0,y0/j)(x_0,y_0/j) では右向きに出発し、 jj が大きいほど保存量が小さいため外側の大きな閉軌道となる。

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