名古屋大学情報学研究科複雑系科学専攻 2022年8月実施微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

次の微分方程式について考えよう。

\frac{dy}{dx} = (1-y)y

一般解を求めよ。
初期値が $0 < y(0) < \frac{1}{2}$ および $y(0) > 1$ の場合のそれぞれについて, $y(x)$ のグラフの特徴がわかるように概形を描け。

考察微分方程

\frac{dy}{dx}=(1-y)y.

求通解；
分别在初始值满足

$0<y(0)<\frac12 \qquad\text{和}\qquad y(0)>1$

时，画出能够体现 $y(x)$ 图像主要特征的大致曲线。

\frac{dy}{dx} = (1-y)y

これを変数分離すると、

\frac{dy}{y(1-y)} = dx

左辺を部分分数分解すると、

\frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} dy = dx

両辺を積分すると、

\int (\frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}) dy = \int dx

\ln |y| - \ln |1-y| = x + C

\ln |\frac{y}{1-y}| = x + C

指数関数を取ると、

\frac{y}{1-y} = Ae^x

(符号を積分定数に含め、 $A$ は任意の非零実数とする。)

$y$ について解くと、

y = Ae^x(1-y)

y = Ae^x - Ae^x y

y + Ae^x y = Ae^x

y(1 + Ae^x) = Ae^x

y = \frac{Ae^x}{1 + Ae^x}

分母と分子を $Ae^x$ で割ると、

y = \frac{1}{\frac{1}{Ae^x} + 1} = \frac{1}{1 + Be^{-x}}

ここで $B = \frac{1}{A}$ です。したがって、非定数解は

y(x) = \frac{1}{1 + Be^{-x}}

である。さらに、変数分離の際に除いた平衡解

y(x)\equiv0,\qquad y(x)\equiv1

も解である（後者は上式の $B=0$ に含まれる）。

\lim_{x\to-\infty}y(x)=0,\qquad \lim_{x\to\infty}y(x)=1

となる単調増加曲線である。 $y=1/2$ 、すなわち $x=\log B>0$ で変曲する。

初期値が $y(0) > 1$ の場合： $B=(1-y(0))/y(0)$ は $-1<B<0$ を満たす。初期値を含む最大存在区間は

x>\log(-B)

であり、

\lim_{x\downarrow\log(-B)}y(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}y(x)=1.

この区間で $y'=y(1-y)<0$ なので、解は $+\infty$ から $1$ へ単調減少する。