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名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2022年8月実施 微分方程

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

以下の2次元非線形力学系について考える。

(a) dxdt=x−y−x(x2+y2)\frac{dx}{dt} = x - y - x(x^2 + y^2)

(b) dydt=y+x−y(x2+y2)\frac{dy}{dt} = y + x - y(x^2 + y^2)

  1. 連立微分方程式 (a) (b) の不動点を求めよ。さらにその不動点におけるヤコビ行列の固有値を求め、不動点の安定性を調べ、不動点近傍での軌道の概略を図示せよ。

  2. 極座標 x(t)=r(t)cos⁡θ(t)x(t) = r(t)\cos\theta(t) , y(t)=r(t)sin⁡θ(t)y(t) = r(t)\sin\theta(t) に変換して、 r(t)r(t) と θ(t)\theta(t) の微分方程式を導け。

  3. r(t)r(t) および θ(t)\theta(t) の初期値をそれぞれ r(0)=r0r(0) = r_0 , θ(0)=θ0\theta(0) = \theta_0 として、2)で導いた r(t)r(t) と θ(t)\theta(t) の微分方程式の解を求めよ。

  4. t→∞t \to \infty での r(t)r(t) の極限値を求め, 8個の初期値 (r0,θ0)=(2i,nπ/2)(i=±1,n=0,1,2,3)(r_0, \theta_0) = (2^i, n\pi/2) (i = \pm 1, n = 0,1,2,3) からの t≥0t \geq 0 における軌道の概略を図示せよ。

  5. 不動点を除く任意の初期値からの解が t→∞t \to \infty で漸近する軌道の式を求めよ。このような軌道は一般に何と呼ばれているか、その名称を答えよ。

题目描述​

考察二维非线性动力系统

(a)dxdt=x−y−x(x2+y2),\text{(a)}\quad \frac{dx}{dt}=x-y-x(x^2+y^2),
(b)dydt=y+x−y(x2+y2).\text{(b)}\quad \frac{dy}{dt}=y+x-y(x^2+y^2).

  1. 求联立方程 (a)、(b) 的全部不动点；进一步求各不动点处 Jacobian 矩阵的特征值，判断稳定性，并画出不动点附近轨道的大致形状；

  2. 作极坐标变换

    x(t)=r(t)cos⁡θ(t),y(t)=r(t)sin⁡θ(t),x(t)=r(t)\cos\theta(t),\qquad y(t)=r(t)\sin\theta(t),

    导出 r(t),θ(t)r(t),\theta(t) 所满足的微分方程；

  3. 给定初始值

    r(0)=r0,θ(0)=θ0,r(0)=r_0,\qquad\theta(0)=\theta_0,

    求第 2 问所得两个微分方程的解；

  4. 求 t→∞t\to\infty 时 r(t)r(t) 的极限，并对八组初始值

    (r0,θ0)=(2i,nπ2),i=±1,n=0,1,2,3,(r_0,\theta_0)=\left(2^i,\frac{n\pi}{2}\right), \qquad i=\pm1,\quad n=0,1,2,3,

    画出 t≥0t\ge0 时轨道的大致形状；

  5. 求除不动点外任意初值的解在 t→∞t\to\infty 时所趋近的轨道方程，并写出这类轨道的通用名称。

Kai​

  1. r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 と書くと、平衡点では
(1−r2−111−r2)(xy)=0.\begin{pmatrix}1-r^2&-1\\1&1-r^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0.

この行列式は (1−r2)2+1>0(1-r^2)^2+1>0 なので、平衡点は

(x,y)=(0,0)\boxed{(x,y)=(0,0)}

だけである。原点での Jacobian は

J(0,0)=(1−111),J(0,0)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},

固有値は 1±i1\pm i である。したがって原点は不安定焦点であり、近傍の軌道は反時計回りに外向きへ螺旋を描く。

  1. x=rcos⁡θx = r\cos\theta and y=rsin⁡θy = r\sin\theta . So x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 . dxdt=drdtcos⁡θ−rsin⁡θdθdt\frac{dx}{dt} = \frac{dr}{dt}\cos\theta - r\sin\theta\frac{d\theta}{dt} . Substituting x=rcos⁡θx = r\cos\theta and y=rsin⁡θy = r\sin\theta into dxdt=x−y−x(x2+y2)\frac{dx}{dt} = x - y - x(x^2 + y^2) , we get drdtcos⁡θ−rsin⁡θdθdt=rcos⁡θ−rsin⁡θ−r3cos⁡θ\frac{dr}{dt}\cos\theta - r\sin\theta\frac{d\theta}{dt} = r\cos\theta - r\sin\theta - r^3\cos\theta . So drdtcos⁡θ−rsin⁡θdθdt=rcos⁡θ−rsin⁡θ−r3cos⁡θ(1)\frac{dr}{dt}\cos\theta - r\sin\theta\frac{d\theta}{dt} = r\cos\theta - r\sin\theta - r^3\cos\theta \hspace{1cm} (1) . Also dydt=drdtsin⁡θ+rcos⁡θdθdt\frac{dy}{dt} = \frac{dr}{dt}\sin\theta + r\cos\theta\frac{d\theta}{dt} . Since dydt=y+x−y(x2+y2)\frac{dy}{dt} = y + x - y(x^2 + y^2) , we have drdtsin⁡θ+rcos⁡θdθdt=rsin⁡θ+rcos⁡θ−r3sin⁡θ(2)\frac{dr}{dt}\sin\theta + r\cos\theta\frac{d\theta}{dt} = r\sin\theta + r\cos\theta - r^3\sin\theta \hspace{1cm} (2) . Multiplying (1) by cos⁡θ\cos\theta and (2) by sin⁡θ\sin\theta and adding, we get drdt=r−r3\frac{dr}{dt} = r - r^3 . Multiplying (1) by sin⁡θ\sin\theta and (2) by cos⁡θ\cos\theta and subtracting, we get dθdt=1\frac{d\theta}{dt} = 1 . So drdt=r−r3\frac{dr}{dt} = r - r^3 and dθdt=1\frac{d\theta}{dt} = 1 .

  2. ρ=r2\rho=r^2 とおくと

ρ′=2ρ(1−ρ).\rho'=2\rho(1-\rho).

r0>0r_0>0 のとき、その解は

ρ(t)=11+(r0−2−1)e−2t,\rho(t)=\frac{1}{1+(r_0^{-2}-1)e^{-2t}},

したがって

r(t)=11+(r0−2−1)e−2t,θ(t)=t+θ0.\boxed{r(t)=\frac{1}{\sqrt{1+(r_0^{-2}-1)e^{-2t}}}}, \qquad \boxed{\theta(t)=t+\theta_0}.

r0=0r_0=0 の場合は r(t)≡0r(t)\equiv0 である。

  1. r0>0r_0>0 なら lim⁡t→∞r(t)=1\lim_{t\to\infty}r(t)=1 であり、 r0=0r_0=0 なら極限は 00 である。指定された8軌道では、 r0=2r_0=2 の4本は半径を減らしながら、 r0=1/2r_0=1/2 の4本は半径を増やしながら、いずれも反時計回りに単位円へ螺旋状に近づく。各4本は初期角が π/2\pi/2 ずつ異なる回転対称な軌道である。

  2. 不動点以外の全軌道が漸近する軌道は

x2+y2=1\boxed{x^2+y^2=1}

であり、これは安定な極限周期軌道（リミットサイクル）と呼ばれる。周期は 2π2\pi である。

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