名古屋大学情報学研究科複雑系科学専攻 2022年8月実施线性代数

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思齐塾, 祭音Myyura

次の方程式 (c) で表される図形 $F_c$ を方程式 (d) で表される図形 $F_d$ に移す相似変換があれば、そのすべてを成分表示で示せ。そのような相似変換がなければ、「ない」と答えて、ないことを証明せよ。

(d) $y' = \frac{1}{4}x'^2$

平面图形 $F_c,F_d$ 分别由

\text{(c)}\quad y=x^2, \qquad \text{(d)}\quad y'=\frac14x'^2

给出。若存在将 $F_c$ 映为 $F_d$ 的相似变换，请用分量形式写出全部这种变换；若不存在，则回答“不存在”并证明。

相似変換の一般形を

\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\rho Q\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}, \qquad \rho>0,\quad Q=(q_{ij})\in O(2)

とする。放物線 $F_c$ を $(x,y)=(t,t^2)$ と媒介表示すると，

x'=\rho(q_{11}t+q_{12}t^2)+h,\qquad y'=\rho(q_{21}t+q_{22}t^2)+k.

これがすべての $t$ に対して $y'=(x')^2/4$ を満たす必要がある。右辺に4次項が現れないためには $q_{12}=0$ が必要である。 $Q$ は直交行列なので，このとき

Q=\operatorname{diag}(\varepsilon_1,\varepsilon_2), \qquad \varepsilon_1,\varepsilon_2\in\{1,-1\}.

したがって恒等式

\rho\varepsilon_2t^2+k =\frac14(\rho\varepsilon_1t+h)^2

の係数を比較すると

h=0,\qquad k=0,\qquad \rho\varepsilon_2=\frac{\rho^2}{4}.

$\rho>0$ より $\varepsilon_2=1,\ \rho=4$ であり， $\varepsilon_1$ は任意である。よって求める相似変換はちょうど

\boxed{(x',y')=(4x,4y)} \qquad\text{および}\qquad \boxed{(x',y')=(-4x,4y)}

の2つである。