名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2022年8月実施 线性代数

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• Nagoya-University
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Affine-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$l, m, l', m'$ は正の実数とする。次の方程式 (a), (b) で表される平面上の図形をそれぞれ $F_a, F_b$ と呼ぶことにする。以下の問に答えよ。

(a) $\frac{x^2}{l^2} + \frac{y^2}{m^2} = 1$ ,

(b) $\frac{x^2}{l'^2} + \frac{y^2}{m'^2} = 1$

1. $(x, y)$ を直交座標とする平面に図形 $F_a$ を描け。

2. 図形 $F_a$ を図形 $F_b$ に移す相似変換が存在するための必要十分条件を $l, m, l', m'$ に関する数式で表せ。 $l > m, l = m, l < m, l' > m', l' = m', l' < m'$ の場合があることに注意せよ。

3. 図形 $F_a$ を図形 $F_b$ に移す相似変換が存在するとき、そのような相似変換をすべて成分表示で示せ。図形を移す相似変換は一つとは限らないことに注意せよ。

题目描述

设 $l,m,l',m'$ 均为正实数，并将方程

$$\text{(a)}\quad\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1, \qquad \text{(b)}\quad\frac{x^2}{l'^2}+\frac{y^2}{m'^2}=1$$

所表示的平面图形分别记为 $F_a,F_b$。

1. 在以 $(x,y)$ 为直角坐标的平面上画出 $F_a$；

2. 用关于 $l,m,l',m'$ 的等式写出存在相似变换将 $F_a$ 映为 $F_b$ 的充分必要条件。需要分别留意

   $$l>m,\quad l=m,\quad l<m, \qquad l'>m',\quad l'=m',\quad l'<m'$$

   的各种情况；

3. 当这种相似变换存在时，用分量形式写出所有能将 $F_a$ 映为 $F_b$ 的相似变换；注意符合条件的变换不一定唯一。

Kai

1. 図形 $F_a$ は楕円である。 $l > m$ の場合、x軸方向に $l$ 、y軸方向に $m$ だけ伸びた楕円。 $l = m$ の場合、円。 $l < m$ の場合、y軸方向に $m$ 、x軸方向に $l$ だけ伸びた楕円。

2. 相似変換はすべての長さを同じ比で変えるので，二つの半軸の 長さの比は，順序を除いて保存される。したがって必要十分条件は

$$\boxed{ \frac{l'}{m'}=\frac lm \quad\text{または}\quad \frac{l'}{m'}=\frac ml }.$$

これは，ある $\rho>0$ に対して $(l',m')=(\rho l,\rho m)$ または $(l',m')=(\rho m,\rho l)$ と書けることと同値である。 特に，一方が円なら他方も円でなければならない。

3. 楕円の中心は一意なので，求める相似変換の平行移動成分は $0$ である。

• $l\neq m$ かつ $(l',m')=(\rho l,\rho m)$ の場合，すべての変換は

$$\boxed{ T_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(x,y) =\rho(\varepsilon_1x,\varepsilon_2y), \qquad \varepsilon_1,\varepsilon_2\in\{1,-1\}. }$$

• $l\neq m$ かつ $(l',m')=(\rho m,\rho l)$ の場合，すべての変換は

$$\boxed{ T_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(x,y) =\rho(\varepsilon_1y,\varepsilon_2x), \qquad \varepsilon_1,\varepsilon_2\in\{1,-1\}. }$$

• $l=m$ かつ $l'=m'$ の場合， $\rho=l'/l$ として，すべての変換は

$$\boxed{T(x)=\rho Qx\qquad(Q\in O(2))}$$

である。成分表示では，任意の $\theta$ に対する

$$\rho \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad \rho \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

の二つの族である。