名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2022年8月実施 数2 [2]

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• 名古屋大学
• 可分离变量的常微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

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出典：名古屋大学公式問題

以下の各問に答えよ。

1. $y' = f(y/x)$ の形の微分方程式は、 $v = y/x$ と変数変換することにより、変数分離形に帰着できることを示せ。

2. 微分方程式 $y' = \frac{x - y}{x + y}$ を解け。

题目描述

回答下列问题。

1. 证明形如

   $$y'=f\left(\frac yx\right)$$

   的微分方程经变量代换 $v=y/x$ 后可化为可分离变量方程；

2. 求解微分方程

   $$y'=\frac{x-y}{x+y}.$$

Kai

1. On an interval with $x\ne0$, let $y = vx$ . Then $y' = v + xv'$ . Substituting into the given differential equation, we have

$$v + xv' = f(v)$$

$$xv' = f(v) - v$$

$$\frac{dv}{dx} = \frac{f(v) - v}{x}$$

$$\frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x}$$

This is a separable differential equation. ただし、この割り算は $f(v)-v\neq0$ の範囲で行っている。$f(v_0)=v_0$ を満たす定数 $v_0$ がある場合には、$v\equiv v_0$、すなわち $y=v_0x$ も別に解として加える必要がある。

2. $y' = \frac{x - y}{x + y}$ . Let $y = vx$ . Then $y' = v + xv'$ . Substituting into the given differential equation, we have

$$v + xv' = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$$

$$xv' = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - v - v - v^2}{1 + v} = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$$

$$\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 2v - v^2}{x(1 + v)}$$

$$\frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \frac{dx}{x}$$

$$\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$$

Let $u = 1 - 2v - v^2$ . Then $du = (-2 - 2v) dv = -2(1 + v) dv$ . So $(1 + v) dv = -\frac{1}{2} du$ .

$$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \int \frac{dx}{x}$$

$$-\frac{1}{2} \ln |u| = \ln |x| + C$$

$$-\frac{1}{2} \ln |1 - 2v - v^2| = \ln |x| + C$$

$$\ln |1 - 2v - v^2| = -2 \ln |x| + C'$$

$$\ln |1 - 2 \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}| = \ln x^{-2} + C'$$

$$1 - 2 \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2} = kx^{-2}$$

$$x^2 - 2xy - y^2 = k$$

$x^2 - 2xy - y^2 = C$

なお、変数分離の際に除いた $1-2v-v^2=0$ の定数解は

$$v=-1\pm\sqrt2, \qquad y=(-1\pm\sqrt2)x$$

である。これらは上の陰関数表示で $C=0$ としたときの二つの枝に対応する。

解は $x+y\ne0$ を満たす連結な枝に制限する。この条件の下では 陰関数の微分から $y'=(x-y)/(x+y)$ が得られるため，陰関数表示は $x=0$ を通る枝にも適用できる。ただし $(0,0)$ は元の方程式の定義域外である。