名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2021年8月実施 数1

标签：

• 名古屋大学
• 矩阵幂
• 仿射变换
• 正交矩阵

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

出典：名古屋大学公式問題

以下の各問に答えよ。ただし， $i$ は虚数単位とする。

1

$\omega = (-1 + \sqrt{3}i)/2$ とするとき，以下の行列のべき乗 $A^2, A^3, A^4$ を求めよ。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix}$$

2

平面上の座標系 $(x,y)$ と $(x',y')$ の変換 $\vec{x} = A\vec{x}' + \vec{x}_0$ を考える。ただし，

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{x}' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}, \quad \vec{x}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

とする。このとき， $(x,y)$ 平面上の直線 $x + y + 1 = 0$ の， $(x',y')$ 平面上での式を求めよ。

3

$A$ を直交行列とする。

1. 任意の実ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ に対して， $A$ による直交変換が内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を不変に保つこと，すなわち $(A\vec{a}) \cdot (A\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ であることを示せ。
2. $A$ の固有値の絶対値が1であることを示せ。
3. 以下 $A$ は $2 \times 2$ 行列とする。 $A$ の列ベクトル表示を $A = (\vec{a}_1, \vec{a}_2)$ とすると， $\vec{a}_1$ および $\vec{a}_2$ のユークリッドノルムが1になること，および $\vec{a}_1$ と $\vec{a}_2$ が直交することを示せ。
4. 3. の結果から $\vec{a}_1 = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} (0 \le \theta < 2\pi)$ と書けることを用いて， $\det A = 1$ の場合に $\vec{a}_2$ を求めよ。
5. $\det A = -1$ の場合には， $A$ が

$$A = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$$

と表される。このとき，任意の2次元実ベクトル $\vec{v}$ に対して， $A\vec{v}$ は原点を通るある直線を対称軸として線対称の関係になる。その直線の式を示せ。

题目描述

回答下列各题，其中 $i$ 为虚数单位。

[1] 令 $\omega=(-1+\sqrt3i)/2$，矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&\omega&\omega^2\\1&\omega^2&\omega \end{pmatrix}.$$

求 $A^2,A^3,A^4$。

[2] 平面坐标系 $(x,y)$ 与 $(x',y')$ 之间满足

$$\boldsymbol x=A\boldsymbol x'+\boldsymbol x_0, \qquad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}-4&3\\2&5\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol x'=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol x_0=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.$$

求 $(x,y)$ 平面上的直线 $x+y+1=0$ 在 $(x',y')$ 平面中的方程。

[3] 设 $A$ 为正交矩阵。

1. 对任意实向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$，证明正交变换保持内积，即

   $$(A\boldsymbol a)\mathbin{\cdot}(A\boldsymbol b) =\boldsymbol a\mathbin{\cdot}\boldsymbol b;$$

2. 证明 $A$ 的每个特征值的绝对值均为 $1$；

3. 以下设 $A$ 为 $2\times2$ 矩阵，并按列写成 $A=(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2)$。证明 $\|\boldsymbol a_1\|=\|\boldsymbol a_2\|=1$ 且 $\boldsymbol a_1\perp\boldsymbol a_2$；

4. 利用

   $$\boldsymbol a_1=\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}, \qquad0\le\theta<2\pi,$$

   在 $\det A=1$ 时求 $\boldsymbol a_2$；

5. 当 $\det A=-1$ 时，$A$ 可写成

$$A=\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix} .$$

此时对任意二维实向量 $\boldsymbol v$，$\boldsymbol v$ 与 $A\boldsymbol v$ 关于某条过原点的直线对称；求该直线的方程。

Kai

1

$\omega = (-1+\sqrt{3}i)/2$ より、

• $(1,1): 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 3$
• $(1,2): 1 + \omega + \omega^2 = 0$
• $(1,3): 1 + \omega^2 + \omega = 0$
• $(2,1): 1 + \omega + \omega^2 = 0$
• $(2,2): 1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
• $(2,3): 1 + \omega^3 + \omega^3 = 1 + 1 + 1 = 3$
• $(3,1): 1 + \omega^2 + \omega = 0$
• $(3,2): 1 + \omega^3 + \omega^3 = 1 + 1 + 1 = 3$
• $(3,3): 1 + \omega^4 + \omega^2 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$

従って、

$$\begin{aligned} A^2 &= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\\ A^3 &= 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix} \\ &= 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega^2 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \end{pmatrix} \\ A^4 &= 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega^2 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix} \\ &= 9 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

2

$x+y+1=0$ に

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= A\vec{x}' + \vec{x}_0 = \begin{pmatrix} -4x'+3y'+2 \\ 2x'+5y'-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を代入して整理すると、

$$(-4x' + 3y' + 2) + (2x' + 5y' - 1) + 1 = 0$$

$$-2x' + 8y' + 2 = 0$$

$$x' - 4y' - 1 = 0$$

を得る。

3

行列 $X$ やベクトル $\vec{x}$ の転置をそれぞれ $X^T, \vec{x}^T$ で表す。 内積 $\vec{x} \cdot \vec{y}$ は $\vec{x}^T \vec{y}$ とも書ける。 また、単位行列を $I$ で表す。

さらに、行列 $X$ やベクトル $\vec{x}$ の共役転置（エルミート共役）をそれぞれ $X^\dagger, \vec{x}^\dagger$ で表す。 $X$ が実行列の場合は、 $X^\dagger = X^T$ である。

1)

$$(A\vec{a}) \cdot (A\vec{b}) = (A\vec{a})^T (A\vec{b}) = (\vec{a}^T A^T) A \vec{b} = \vec{a}^T (A^T A) \vec{b}$$

$A$ が直交行列であり $A^T A = I$ が成り立つことから

$$= \vec{a}^T I \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$$

2)

$A$ の固有値を $\lambda$ とし、対応する規格化された固有ベクトルを $\vec{v}$ とする

$$\|A\vec{v}\|^2 = (A\vec{v})^{*T} (A\vec{v}) = \vec{v}^{*T} A^T A \vec{v} = \vec{v}^{*T} I \vec{v} = \|\vec{v}\|^2$$

一方で、

$$\|A\vec{v}\|^2 = \|\lambda\vec{v}\|^2 = |\lambda|^2 \|\vec{v}\|^2$$

となるので、 $|\lambda|^2 \|\vec{v}\|^2 = \|\vec{v}\|^2$ がわかる。従って、 $|\lambda| = 1$ 。

3)

$$\begin{aligned} I &= A^T A \\ &= \begin{pmatrix} \vec{a}_1^T \\ \vec{a}_2^T \end{pmatrix} \left( \vec{a}_1, \vec{a}_2 \right) \\ &= \begin{pmatrix} \vec{a}_1^T \vec{a}_1 & \vec{a}_1^T \vec{a}_2 \\ \vec{a}_2^T \vec{a}_1 & \vec{a}_2^T \vec{a}_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

• $\vec{a}_1^T \vec{a}_1 = 1 \implies \|\vec{a}_1\|^2 = 1 \implies \|\vec{a}_1\| = 1$
• $\vec{a}_2^T \vec{a}_2 = 1 \implies \|\vec{a}_2\|^2 = 1 \implies \|\vec{a}_2\| = 1$
• $\vec{a}_1^T \vec{a}_2 = 0 \implies \vec{a}_1 \cdot \vec{a}_2 = 0$

4)

$$\begin{aligned} \vec{a}_2 = \begin{pmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned}$$

5)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} , \\ \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であるから、求める直線は、原点を通り、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を方向ベクトルとするような直線である。 ベクトルの第1成分をx、第2成分をyで表すと、その直線の方程式は、

$$-\sin \frac{\theta}{2}x + \cos \frac{\theta}{2} y = 0$$

である。

実際に，$v=(\cos(\theta/2),\sin(\theta/2))^T$， $w=(-\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))^T$ とおくと， $Av=v$，$Aw=-w$ である。この正規直交基底では $A$ は $v$ 方向の成分を保ち，それに垂直な成分の符号を反転するため，上の直線を軸とする鏡映である。