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名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2021年8月実施 数1

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祭音Myyura

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以下の各問に答えよ。ただし，は虚数単位とする。

[1]​

とするとき，以下の行列のべき乗 を求めよ。

[2]​

平面上の座標系 と の変換 を考える。ただし，

とする。このとき， 平面上の直線 の， 平面上での式を求めよ。

[3]​

を直交行列とする。

  1. 任意の実ベクトル に対して， による直交変換が内積 を不変に保つこと，すなわち であることを示せ。
  2. の固有値の絶対値が1であることを示せ。
  3. 以下 は 行列とする。 の列ベクトル表示を とすると， および のユークリッドノルムが1になること，および と が直交することを示せ。
    1. の結果から と書けることを用いて， の場合に を求めよ。
  5. の場合には， が

と表される。このとき，任意の2次元実ベクトル に対して， は原点を通るある直線を対称軸として線対称の関係になる。その直線の式を示せ。

Kai​

[1]​

より、

従って、

[2]​

に

を代入して整理すると、

を得る。

[3]​

行列 やベクトル の転置をそれぞれ で表す。 内積 は とも書ける。 また、単位行列を で表す。

さらに、行列 やベクトル の複素転置（エルミート共役）をそれぞれ で表す。 が実行列の場合は、 である。

1)​

が直交行列であり が成り立つことから

2)​

の固有値を とし、対応する規格化された固有ベクトルを とする

一方で、

となるので、 がわかる。従って、。

3)​

4)​

5)​

であるから、求める直線は、原点を通り、

を方向ベクトルとするような直線である。 ベクトルの第1成分をx、第2成分をyで表すと、その直線の方程式は、

である。

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