名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2021年8月実施 数1

Author

Miyake

Description

Kai

[1]

より、

が成り立つことに注意して、次のように計算できる：

[2]

に

を代入して整理すると、

を得る。

[3]

行列 やベクトル の転置をそれぞれ で表す。 内積 は とも書ける。 また、単位行列を で表す。

さらに、行列 やベクトル の複素転置（エルミート共役）をそれぞれ で表す。 が実行列の場合は、 である。

1)

が直交行列であり が成り立つことから、次のように計算できる：

2)

の固有値を とし、対応する規格化された固有ベクトルを とする （ ）：

両辺それぞれに自分自身の複素転置を左からかけると、

となるので、 がわかる。

3)

であるから、 それぞれのユークリッドノルムが であることと、 が直交することがわかる。

4)

5)

であるから、求める直線は、原点を通り、

を方向ベクトルとするような直線である。 ベクトルの第1成分をx、第2成分をyで表すと、その直線の方程式は、

である。