名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2020年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

時間 $t$ の実関数 $x(t)$ に対して、

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{2x^2} \qquad (1)$$

が成り立つとき、次の問に答えよ。

1. 式 (1) の両辺に $2\frac{dx}{dt}$ を掛けた式から $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$ を与える式を求めよ。

2. $a$ を正定数として、初期条件が $x(0) = a$ および $\left(\frac{dx}{dt}\right)(0) = -\frac{1}{\sqrt{a}}$ のように与えられたときの $\frac{dx}{dt}$ を与える式を求めよ。

3. 2. の初期条件の下で、 $x$ が $a/2$ となるまでの時間を求めよ。

题目描述

实函数 $x(t)$ 满足

$$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac1{2x^2}. \tag{1}$$

1. 将式 (1) 两边同乘 $2\dfrac{dx}{dt}$，从所得等式导出一个给出 $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2$ 的关系式；

2. 设 $a$ 为正常数，在初始条件

   $$x(0)=a,\qquad \left(\frac{dx}{dt}\right)(0)=-\frac1{\sqrt a}$$

   下，求给出 $\dfrac{dx}{dt}$ 的关系式；

3. 在第 2 问的初始条件下，求 $x$ 到达 $a/2$ 所需的时间。

Kai

1. $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{2x^2}$ に $2 \frac{dx}{dt}$ を掛けると、

$$2 \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} = - \frac{1}{x^2} \frac{dx}{dt}$$

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{x} \right)$$

積分して、

$$\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \frac{1}{x} + C$$

2. 初期条件 $x(0) = a$ , $\frac{dx}{dt}(0) = -\frac{1}{\sqrt{a}}$ を代入すると、

$$\left( -\frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 = \frac{1}{a} + C$$

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{a} + C \Rightarrow C = 0$$

よって、

$$\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \frac{1}{x}$$

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$$

(初期条件より負)

3. $\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ を解くと、

$$\sqrt{x} dx = -dt$$

積分して、

$$\int_{a}^{a/2} \sqrt{x} dx = \int_0^t -dt$$

$$\left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{a}^{a/2} = -t$$

$$t = \frac{2}{3} \left( a^{\frac{3}{2}} - \left( \frac{a}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \right)$$

$$t = \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} \left( 1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$

$$t = \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$$

$$t = \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} \left( \frac{4 - \sqrt{2}}{4} \right)$$

$$t = \frac{4 - \sqrt{2}}{6} a^{\frac{3}{2}}$$