名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2020年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

関数 $f(x)$ は連続として、関数 $g(x)$ を

$$g(x) = \int_{0}^{x} f(t)(x-t)^n dt$$

とおく。このとき、次の問に答えよ。

1. $f(x)$ の原始関数を $f_1(x)$ とする。 $g(x)$ を $f_1(x)$ を使って表せ。

2. $g(x)$ の $n+1$ 階の導関数を $f(x)$ のみで表せることを示せ。

题目描述

设 $f(x)$ 连续，并定义

$$g(x)=\int_0^x f(t)(x-t)^n\,dt.$$

1. 设 $f_1(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，用 $f_1(x)$ 表示 $g(x)$；
2. 证明 $g(x)$ 的 $n+1$ 阶导数可以只用 $f(x)$ 表示。

Kai

1. $n\ge1$ とする。部分積分で $u=(x-t)^n,\ dv=f(t)\,dt$ とおくと、 $du=-n(x-t)^{n-1}dt,\ v=f_1(t)$ であるから、

$$g(x) = \int_0^x f(t) (x-t)^n dt = \left[f_1(t) (x-t)^n\right]_0^x - \int_0^x f_1(t) (-n(x-t)^{n-1}) dt$$

$$= f_1(x)(x-x)^n - f_1(0)(x-0)^n + n \int_0^x f_1(t) (x-t)^{n-1} dt$$

$$= -f_1(0)x^n + n \int_0^x f_1(t) (x-t)^{n-1} dt.$$

これが $f_1$ を用いた表示である。なお $n=0$ の場合は直接

$$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt=f_1(x)-f_1(0)$$

となる。

2. $n\ge1$ のとき、Leibniz の公式を順に用いると、

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x f(t)(x-t)^n dt = f(x)(x-x)^n + \int_0^x f(t) n(x-t)^{n-1} dt = n \int_0^x f(t)(x-t)^{n-1} dt$$

$$g''(x) = n(n-1) \int_0^x f(t)(x-t)^{n-2} dt$$

Continuing this until the $n$ th derivative:

$$g^{(n)}(x) = n! \int_0^x f(t) dt$$

$$g^{(n+1)}(x) = n! f(x)$$

したがって $g^{(n+1)}(x)$ は $f(x)$ のみで表される。 $n=0$ の場合も、微積分学の基本定理から $g'(x)=f(x)$ であり、同じ結論が成り立つ。