名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2017年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

実数値関数 $u(x,t)$ の偏導関数を $u_t = \frac{\partial u}{\partial t}, u_x = \frac{\partial u}{\partial x}, u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ と書く。変数 $x$ は $0 \leq x \leq L$ の範囲の値をとる。 $u(x,t)$ は境界条件付きの偏微分方程式

$$u_t(x,t) = u_{xx}(x,t), \quad u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0$$

を満たすとする。以下の小問に答えよ。

1. 次式で定められる関数 $Q(t)$ は $\frac{dQ}{dt} = 0$ を満たすことを証明せよ。

$$Q(t) = \int_0^L u(x,t) dx$$

2. 次式で定められる関数 $V(t)$ は $\frac{dV}{dt} \leq 0$ を満たすことを証明せよ。

$$V(t) = \frac{1}{2} \int_0^L \{u_x(x,t)\}^2 dx$$

3. $m,n$ を正の整数または $0$ とすると、次式が成立することを証明せよ。

$$\int_0^L \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \begin{cases} L & (m=n=0 \text{ の場合}) \\ \frac{1}{2}L & (m=n \neq 0 \text{ の場合}) \\ 0 & (m \neq n \text{ の場合}) \end{cases}$$

4. $n = 0,1,2,\cdots$ に対して $v_n(t)$ は変数 $t$ の微分可能関数とする。次式の関数 $u(x,t)$ が境界条件 $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$ を満たしていることを示せ。

$$u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

5. 初期条件 $u(x,0) = f(x)$ が与えられたとして $n=0,1,2,\cdots$ について $v_n(0)$ を求めよ。

6. 関数 $v_n(t)$ が満たすべき微分方程式を $u_t = u_{xx}$ から導け。また、その微分方程式の一般解を求めよ。

题目描述

对实值函数 $u(x,t)$，记

$$u_t=\frac{\partial u}{\partial t},\qquad u_x=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad u_{xx}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$

变量 $x$ 的范围为 $0\le x\le L$。设 $u(x,t)$ 满足带 Neumann 边界条件的偏微分方程

$$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t),\qquad u_x(0,t)=u_x(L,t)=0.$$

1. 对

   $$Q(t)=\int_0^L u(x,t)\,dx,$$

   证明 $\dfrac{dQ}{dt}=0$；

2. 对

   $$V(t)=\frac12\int_0^L\{u_x(x,t)\}^2\,dx,$$

   证明 $\dfrac{dV}{dt}\le0$；

3. 设 $m,n$ 为正整数或 $0$，证明

   $$\int_0^L \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \begin{cases} L,&m=n=0,\\[2pt] \dfrac12L,&m=n\ne0,\\[2pt] 0,&m\ne n; \end{cases}$$

4. 对 $n=0,1,2,\ldots$，设 $v_n(t)$ 是关于 $t$ 的可微函数。证明

   $$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} v_n(t)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

   满足边界条件 $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$；

5. 给定初始条件 $u(x,0)=f(x)$，对每个 $n=0,1,2,\ldots$ 求 $v_n(0)$；

6. 从 $u_t=u_{xx}$ 导出 $v_n(t)$ 应满足的微分方程，并求该方程的通解。

Kai

1. 関数 $Q(t)$ を $t$ で微分します。積分の下の微分（ライプニッツの法則）を用いると、

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt} \int_0^L u(x,t) dx = \int_0^L \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) dx = \int_0^L u_t(x,t) dx$$

与えられた偏微分方程式 $u_t = u_{xx}$ を代入すると、

$$\frac{dQ}{dt} = \int_0^L u_{xx}(x,t) dx$$

これを $x$ について積分すると、

$$\frac{dQ}{dt} = [u_x(x,t)]_0^L = u_x(L,t) - u_x(0,t)$$

境界条件 $u_x(0,t) = 0$ と $u_x(L,t) = 0$ を用いると、

$$\frac{dQ}{dt} = 0 - 0 = 0$$

よって、 $\frac{dQ}{dt} = 0$ が証明されました。

2. 関数 $V(t)$ を $t$ で微分します。

$$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \int_0^L \{u_x(x,t)\}^2 dx \right) = \frac{1}{2} \int_0^L \frac{\partial}{\partial t} \{u_x(x,t)\}^2 dx$$

連鎖律（合成関数の微分法）を用いると、 $\frac{\partial}{\partial t} \{u_x\}^2 = 2 u_x \frac{\partial}{\partial t}(u_x) = 2 u_x u_{xt}$ となるので、

$$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{2} \int_0^L 2 u_x u_{xt} dx = \int_0^L u_x (u_t)_x dx$$

ここで部分積分を行います（ $\int f g' = [fg] - \int f' g$ ）。 $f = u_x$ , $g' = (u_t)_x$ とおくと、 $f' = u_{xx}$ , $g = u_t$ となるので、

$$\int_0^L u_x (u_t)_x dx = [u_x u_t]_0^L - \int_0^L u_{xx} u_t dx$$

境界条件 $u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0$ より、第一項は $0$ になります。

$$[u_x u_t]_0^L = u_x(L,t)u_t(L,t) - u_x(0,t)u_t(0,t) = 0 \cdot u_t(L,t) - 0 \cdot u_t(0,t) = 0$$

したがって、

$$\frac{dV}{dt} = - \int_0^L u_{xx} u_t dx$$

偏微分方程式 $u_t = u_{xx}$ を代入すると、

$$\frac{dV}{dt} = - \int_0^L u_{xx} u_{xx} dx = - \int_0^L \{u_{xx}(x,t)\}^2 dx$$

被積分関数 $\{u_{xx}(x,t)\}^2$ は常に非負であるため、その積分も非負です。( $\int_0^L \{u_{xx}(x,t)\}^2 dx \geq 0$ ) ゆえに、

$$\frac{dV}{dt} \leq 0$$

が証明されました。

3. 三角関数の積和公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$ を用いて積分を計算します。

$$\int_0^L \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{1}{2} \int_0^L \left\{ \cos\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right) + \cos\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right) \right\} dx$$

(i) $m \neq n$ の場合: $m-n$ と $m+n$ はゼロでない整数です。ゼロでない整数 $k$ に対して、

$$\int_0^L \cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right) dx = \left[ \frac{L}{k\pi} \sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \right]_0^L = \frac{L}{k\pi}(\sin(k\pi) - \sin(0)) = 0$$

よって、積分は $0$ となります。 (ii) $m = n \neq 0$ の場合: $m-n=0$ なので、

$$\frac{1}{2} \int_0^L \left\{ \cos(0) + \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right\} dx = \frac{1}{2} \int_0^L \left( 1 + \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right) dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{L}{2n\pi} \sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_0^L = \frac{1}{2} \left\{ (L + 0) - (0 + 0) \right\} = \frac{L}{2}$$

(iii) $m = n = 0$ の場合:

$$\int_0^L \cos(0) \cos(0) dx = \int_0^L 1 dx = [x]_0^L = L$$

以上より、与式が成立することが証明されました。

4. $u(x,t)$ を $x$ で項別微分します（級数の一様収束を仮定）。

$$u_x(x,t) = \frac{\partial}{\partial x} \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t) \left( -\frac{n\pi}{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)$$

$n=0$ の項は $0$ なので、

$$u_x(x,t) = - \frac{\pi}{L} \sum_{n=1}^{\infty} n v_n(t) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

境界 $x=0$ と $x=L$ での値を計算します。

$$u_x(0,t) = - \frac{\pi}{L} \sum_{n=1}^{\infty} n v_n(t) \sin(0) = 0$$

$$u_x(L,t) = - \frac{\pi}{L} \sum_{n=1}^{\infty} n v_n(t) \sin(n\pi) = 0 \quad (\text{整数 } n \text{ に対して } \sin(n\pi) = 0)$$

したがって、 $u(x,t)$ は境界条件 $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$ を満たします。

5. 初期条件 $u(x,0) = f(x)$ を級数表示に代入すると、

$$f(x) = u(x,0) = \sum_{n=0}^{\infty} v_n(0) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

これは $f(x)$ のフーリエ余弦級数です。係数 $v_n(0)$ を求めるために、3)の直交関係を利用します。両辺に $\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)$ を掛けて $0$ から $L$ まで積分します。

$$\int_0^L f(x) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} v_n(0) \int_0^L \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$$

3)の結果より、右辺の積分は $n=m$ の項のみが残ります。 (i) $m=0$ の場合:

$$\int_0^L f(x) dx = v_0(0) \cdot L \implies v_0(0) = \frac{1}{L} \int_0^L f(x) dx$$

(ii) $m \geq 1$ の場合:

$$\int_0^L f(x) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = v_m(0) \cdot \frac{L}{2} \implies v_m(0) = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$$

6. $u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ を $u_t = u_{xx}$ に代入します。 左辺 $u_t$ :

$$u_t(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{dv_n}{dt}(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

右辺 $u_{xx}$ :

$$u_{xx}(x,t) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t) \left(-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

$u_t = u_{xx}$ より、フーリエ級数の一意性から各項の係数が等しくなければなりません。

$$\frac{dv_n}{dt}(t) = -\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 v_n(t)$$

これが $v_n(t)$ が満たすべき常微分方程式です。 この方程式は変数分離形です。

$$\frac{dv_n}{v_n} = -\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 dt$$

両辺を積分すると、

$$\ln|v_n| = -\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t + C'$$

したがって、一般解は任意定数 $A_n$ を用いて次のように書けます。

$$v_n(t) = A_n e^{-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}$$