名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2017年8月実施 线性代数

标签：

• Nagoya-University
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Basis-and-Dimension
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

3次元ベクトル空間から2次元ベクトル空間への写像

$$p: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + x_3 \\ x_1 + 2x_2 - x_3 \end{pmatrix}$$

について,次の小問に答えよ。

1. $p$ が線形写像であることを示せ。

2. $p = 0$ を満たす3次元ベクトル全体の集合 $V$ を求めよ。

3. $V$ のすべての要素と直交し, $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を通る平面の方程式を示せ。

4. この平面と原点 $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ との距離を求めよ。

题目描述

给定从三维向量空间到二维向量空间的映射

$$p: \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3\\ x_1+2x_2-x_3 \end{pmatrix}.$$

1. 证明 $p$ 是线性映射；

2. 求所有满足 $p(\boldsymbol x)=\boldsymbol0$ 的三维向量组成的集合 $V$；

3. 求一个与 $V$ 中所有向量正交、且经过点

   $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$

   的平面方程；

4. 求该平面到原点

   $$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

   的距离。

Kai

1. 线性性

令

$$M= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&-1 \end{pmatrix}.$$

则 $p(x)=Mx$ 。对任意向量 $x,y$ 和标量 $c$ ，

$$p(x+y)=M(x+y)=p(x)+p(y),$$

$$p(cx)=M(cx)=cp(x).$$

因此 $p$ 是线性映射。

2. 核空间 $V$

$p(x)=0$ 等价于

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+2x_2-x_3=0. \end{cases}$$

第二式减第一式得 $x_2=2x_3$ ，再代回得 $x_1=-3x_3$ 。令 $x_3=t$ ，则

$$\boxed{ V= \left\{ t\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix} \mathrel{}\middle|\mathrel{} t\in\mathbb R \right\}. }$$

3. 所求平面

$V$ 由向量 $n=(-3,2,1)^T$ 张成。一个平面与 $V$ 的所有向量正交，等价于 $n$ 是该平面的法向量。又因平面经过 $(1,2,3)$ ，其方程为

$$-3(x_1-1)+2(x_2-2)+(x_3-3)=0.$$

化简得

$$\boxed{-3x_1+2x_2+x_3-4=0}.$$

4. 原点到平面的距离

点到平面的距离公式给出

$$d= \frac{|-4|} {\sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}} =\boxed{\frac4{\sqrt{14}}}.$$