名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2017年8月実施 线性代数

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• Nagoya-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Basis-and-Dimension

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2次方程式

$$g(x) = 3x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2 = 1$$

を満たす2次元ベクトル

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$$

について, 次の小問に答えよ。

1. この2次方程式をベクトル $x$ と適当な対称行列を用いて書き換えよ。

2. $x$ に適当な正規直交変換を施して $g(x)$ を対角行列を用いた式に書き換えよ。

3. この2次方程式を満たす点全体の集合を $(x_1, x_2)$ 座標系で図示せよ。

4. $x$ がこの2次方程式を満たすとき, 関数

$$f(x) = x_1^2 + x_2^2$$

の最大値と最小値を求めよ。 また, 最大値と最小値をとるときのそれぞれの $(x_1, x_2)$ を求めよ。

题目描述

对满足二次方程

$$g(\boldsymbol x) =3x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2=1$$

的二维向量

$$\boldsymbol x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},$$

回答下列问题。

1. 用向量 $\boldsymbol x$ 和适当的实对称矩阵改写该二次方程；

2. 对 $\boldsymbol x$ 作适当的标准正交变换，用对角矩阵改写 $g(\boldsymbol x)$；

3. 在 $(x_1,x_2)$ 坐标系中画出满足该二次方程的全部点；

4. 在 $\boldsymbol x$ 满足该方程的条件下，求

   $$f(\boldsymbol x)=x_1^2+x_2^2$$

   的最大值与最小值，并分别求取得最大值和最小值时的所有 $(x_1,x_2)$。

Kai

1. 对称矩阵表示

令

$$A= \begin{pmatrix} 3&2\\ 2&3 \end{pmatrix}.$$

则

$$g(x)=x^TAx =3x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2.$$

所以原方程可写为 $x^TAx=1$ 。

2. 正交对角化

$A$ 的特征多项式为

$$\det(A-\lambda I) =(3-\lambda)^2-4 =(\lambda-5)(\lambda-1).$$

对应于特征值 $5$ 和 $1$ ，可分别取单位特征向量

$$\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$

令

$$P= \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}.$$

则 $P^TP=I$ ，并且

$$P^TAP= \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

作正交坐标变换 $x=Py$ ，即

$$y_1=\frac{x_1+x_2}{\sqrt2}, \qquad y_2=\frac{x_1-x_2}{\sqrt2},$$

便有

$$g(x)=5y_1^2+y_2^2.$$

3. 图形

方程化为

$$\frac{y_1^2}{1/5}+y_2^2=1.$$

因此图形是以原点为中心的椭圆。短半轴长为 $1/\sqrt5$ ，方向为 $x_1=x_2$ ；长半轴长为 $1$ ，方向为 $x_1=-x_2$ 。也就是说，该椭圆由标准轴方向旋转 $45^\circ$ 得到。

4. $f(x)$ 的最大值与最小值

正交变换保持长度，因此

$$f(x)=x_1^2+x_2^2=y_1^2+y_2^2.$$

由约束 $5y_1^2+y_2^2=1$ 得

$$f(x)=1-4y_1^2, \qquad 0\leq y_1^2\leq\frac15.$$

所以最大值为

$$\boxed{\max f=1},$$

在 $(y_1,y_2)=(0,\pm1)$ 时取得。换回原坐标，取值点为

$$\boxed{ \left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right), \quad \left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right) }.$$

最小值为

$$\boxed{\min f=\frac15},$$

在 $(y_1,y_2)=(\pm1/\sqrt5,0)$ 时取得。换回原坐标，取值点为

$$\boxed{ \left(\frac1{\sqrt{10}},\frac1{\sqrt{10}}\right), \quad \left(-\frac1{\sqrt{10}},-\frac1{\sqrt{10}}\right) }.$$