跳到主要内容

名古屋大学 情報学研究科 複雑系科学専攻 2016年8月実施 线性代数

标签：

Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の小問に答えよ。

  1. 0<p<10 < p < 1 および 0<q<10 < q < 1 を満たす実数 pp と qq を用いて、行列
P=(1−pqp1−q)P = \begin{pmatrix} 1-p & q \\ p & 1-q \end{pmatrix}

とおく。 nn を自然数とするとき、

Pn=1p+q(qqpp)+(1−p−q)np+q(p−q−pq)P^n = \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^n}{p+q} \begin{pmatrix} p & -q \\ -p & q \end{pmatrix}

が成り立つことを示せ。

  1. ある野球選手は、ヒットを打った次の打席において 2 割の確率でヒットを打つとする。また、ヒットを打たなかった次の打席では 4 割の確率でヒットを打つとする。ある打席ではヒットを打った。次々回にヒットを打つ確率を答えよ。また、十分な打席数を終えたあと、次の打席でヒットを打つ確率を答えよ。

题目描述​

回答下列问题。

  1. 设实数 p,qp,q 满足 0<p<1, 0<q<10<p<1,\ 0<q<1，并令

    P=(1−pqp1−q).P=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}.

    对自然数 nn，证明

    Pn=1p+q(qqpp)+(1−p−q)np+q(p−q−pq);P^n =\frac1{p+q}\begin{pmatrix}q&q\\p&p\end{pmatrix} +\frac{(1-p-q)^n}{p+q} \begin{pmatrix}p&-q\\-p&q\end{pmatrix};

  2. 某棒球运动员若上一打席击出安打，则下一打席以 20%20\% 的概率击出安打；若上一打席未击出安打，则下一打席以 40%40\% 的概率击出安打。已知他在某一打席击出安打，求再下一打席击出安打的概率；再求经过足够多打席后，他在下一打席击出安打的概率。

Kai​

  1. (証明) 数学的帰納法で示す。 (i) n=1n=1 のとき
1p+q(qqpp)+1−p−qp+q(p−q−pq)=1p+q(q+p−p2−pqq−q+pq+q2p−p+p2+pqp+q−pq−q2)=1p+q(q+p(1−p−q)q(p+q)p(p+q)p+q(1−p−q))\frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{1-p-q}{p+q} \begin{pmatrix} p & -q \\ -p & q \end{pmatrix} = \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q + p - p^2 - pq & q - q + pq + q^2 \\ p - p + p^2 + pq & p + q - pq - q^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q + p(1-p-q) & q(p+q) \\ p(p+q) & p + q(1-p-q) \end{pmatrix}
=1p+q(q+p−p2−pqpq+q2p2+pqp+q−pq−q2)=1p+q((p+q)−p(p+q)q(p+q)p(p+q)(p+q)−q(p+q))=(1−pqp1−q)=P= \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q + p - p^2 - pq & pq + q^2 \\ p^2 + pq & p + q - pq - q^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} (p+q) - p(p+q) & q(p+q) \\ p(p+q) & (p+q) - q(p+q) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-p & q \\ p & 1-q \end{pmatrix} = P

(ii) n=kn=k のとき成り立つと仮定する。すなわち、

Pk=1p+q(qqpp)+(1−p−q)kp+q(p−q−pq)P^k = \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^k}{p+q} \begin{pmatrix} p & -q \\ -p & q \end{pmatrix}

n=k+1n=k+1 のとき

Pk+1=PkP=[1p+q(qqpp)+(1−p−q)kp+q(p−q−pq)](1−pqp1−q)P^{k+1} = P^k P = \left[ \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^k}{p+q} \begin{pmatrix} p & -q \\ -p & q \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 1-p & q \\ p & 1-q \end{pmatrix}
=1p+q(q(1−p)+pqq2+q(1−q)p(1−p)+p2pq+p(1−q))+(1−p−q)kp+q(p(1−p)−pqpq−q(1−q)−p(1−p)+pq−pq+q(1−q))= \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q(1-p) + pq & q^2 + q(1-q) \\ p(1-p) + p^2 & pq + p(1-q) \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^k}{p+q} \begin{pmatrix} p(1-p) - pq & pq - q(1-q) \\ -p(1-p) + pq & -pq + q(1-q) \end{pmatrix}
=1p+q(qqpp)+(1−p−q)kp+q(p−p2−pqpq−q+q2−p+p2+pq−pq+q−q2)= \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^k}{p+q} \begin{pmatrix} p - p^2 - pq & pq - q + q^2 \\ -p + p^2 + pq & -pq + q - q^2 \end{pmatrix}
=1p+q(qqpp)+(1−p−q)kp+q(1−p−q)(p−q−pq)= \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^k}{p+q} (1-p-q)\begin{pmatrix} p & -q \\ -p & q \end{pmatrix}
=1p+q(qqpp)+(1−p−q)k+1p+q(p−q−pq)= \frac{1}{p+q} \begin{pmatrix} q & q \\ p & p \end{pmatrix} + \frac{(1-p-q)^{k+1}}{p+q} \begin{pmatrix} p & -q \\ -p & q \end{pmatrix}

したがって、 n=k+1n=k+1 のときも成り立つ。 (i)(ii) より、 nn が自然数のとき、題意の式は成り立つ。

  1. ある打席でヒットを打った場合、次打席でヒットを打つ確率は 0.2 である。ヒットを打たなかった場合、次打席でヒットを打つ確率は 0.4 である。 現在の打席でヒットを打ったとする。次打席でヒットを打つ確率は 0.2 である。その次（次々回）にヒットを打つ確率は、次打席でヒットを打った場合と、次打席でヒットを打たなかった場合の確率を足し合わせる。 (i) 次打席でヒットを打った場合 (確率 0.2) 、その次（次々回）にヒットを打つ確率は 0.2 (ii) 次打席でヒットを打たなかった場合 (確率 1 - 0.2 = 0.8) 、その次（次々回）にヒットを打つ確率は 0.4 したがって、次々回にヒットを打つ確率は、 0.2×0.2+0.8×0.4=0.04+0.32=0.360.2 \times 0.2 + 0.8 \times 0.4 = 0.04 + 0.32 = 0.36

十分な打席数を終えたあと、ヒットを打つ確率を xx とすると、 x=0.2x+0.4(1−x)x = 0.2x + 0.4(1-x) x=0.2x+0.4−0.4xx = 0.2x + 0.4 - 0.4x x=−0.2x+0.4x = -0.2x + 0.4 1.2x=0.41.2x = 0.4 x=0.41.2=412=13x = \frac{0.4}{1.2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

したがって、十分な打席数を終えたあと、次の打席でヒットを打つ確率は 13\frac{1}{3}

本页目录