名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2024年8月実施 確率・統計

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• Bayes-Theorem
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function
• Random-Variable-Transformation

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

出典：名古屋大学公式問題

解の導出過程も書くこと。

[1]

次のように作られたコインが1つずつある。

• コインA: 表が出る確率が $1/3$ , 裏が出る確率が $2/3$ .
• コインB: 表が出る確率が $2/3$ , 裏が出る確率が $1/3$ .

以下の問いに既約分数で答えよ。

(a) コインAを $5$ 回投げるとき、表が $2$ 回だけ出る確率を求めよ。

(b) コインAを $4$ 回投げるとき、表が $2$ 回以上連続して出る確率を求めよ。

(c) コインを1つ無作為に選んで、 $4$ 回投げて $1$ 回だけ表が出た場合、このコインがコインAである確率を求めよ。

[2]

確率変数 $X$ は次の確率密度関数 $f(x)$ を持つとする。ただし、 $k$ は定数とする。

$$f(x) = \begin{cases} kx(2-x) &(0 \leq x \leq 2) \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

以下の問いに答えよ。

(a) 定数 $k$ を求めよ。

(b) 累積分布関数 $F(x)$ を求めよ。

(c) $F(x) = 1/2$ および $F(x) = 5/32$ のとき、それぞれに対応する $x$ の値を求めよ。

(d) 確率変数 $Y$ を $Y = 2X+1$ と定義する. $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を求めよ。

题目描述

作答时写出推导过程。

[1] 现有两枚硬币：

• 硬币 A 出现正面、反面的概率分别为 $\dfrac13,\dfrac23$；
• 硬币 B 出现正面、反面的概率分别为 $\dfrac23,\dfrac13$。

下列各题均以最简分数作答。

1. 将硬币 A 投掷 $5$ 次，求正面恰好出现 $2$ 次的概率；
2. 将硬币 A 投掷 $4$ 次，求投掷序列中出现至少两个连续正面的概率；
3. 从 A、B 中等概率随机选取一枚，投掷 $4$ 次后只出现 $1$ 次正面。求所选硬币为 A 的条件概率。

[2] 随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$f(x)= \begin{cases} kx(2-x),&0\le x\le2,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

其中 $k$ 为常数。回答：

1. 求 $k$；
2. 求累积分布函数 $F(x)$；
3. 分别求满足 $F(x)=\dfrac12$ 与 $F(x)=\dfrac5{32}$ 的 $x$；
4. 定义 $Y=2X+1$，求 $Y$ 的概率密度函数 $g(y)$。

Kai

[1]

(a)

$$\begin{aligned} {}_5 \mathrm{C}_2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^4 \cdot 5}{3^5} = \frac{80}{243} \end{aligned}$$

(b)

表が $2$ 回以上連続して出ないのは、裏裏裏裏、表裏裏裏、裏表裏裏、裏裏表裏、裏裏裏表、表裏裏表、表裏表裏、裏表裏表の8通りであり、これらの確率の和は

$$\begin{aligned} \left( \frac{2}{3} \right)^4 + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{60}{81} \end{aligned}$$

である。よって、求める確率は

$$\begin{aligned} 1 - \frac{60}{81} = \frac{7}{27} \end{aligned}$$

である。

(c)

コインAを $4$ 回投げて $1$ 回だけ表が出る確率は

$$\begin{aligned} 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{32}{81} \end{aligned}$$

であり、コインBを $4$ 回投げて $1$ 回だけ表が出る確率は

$$\begin{aligned} 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{8}{81} \end{aligned}$$

である。よって、求める確率は

$$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{81}} {\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{81} + \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{81}} = \frac{4}{5} \end{aligned}$$

である。

[2]

(a)

$$1=\int_{0}^{2}k\,x(2-x)\,dx =k\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx =k\Big[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{2} =k\Big(4-\frac{8}{3}\Big) =k\cdot \frac{4}{3}.$$

したがって

$$\boxed{k=\frac{3}{4}}.$$

(b)

$$F(x)=P(X\le x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{3}{4}\,t(2-t)\,dt =\frac{3x^{2}-x^{3}}{4}, & 0\le x\le 2,\\[8pt] 1, & x\ge 2. \end{cases}$$

(c)

• $F(x)=\frac12$ :

$$\frac{3x^{2}-x^{3}}{4}=\frac12 \ \Rightarrow\ x^{3}-3x^{2}+2=0 =(x-1)(x^{2}-2x-2)=0.$$

区間 $[0,2]$ の解は $\boxed{x=1}$ 。

• $F(x)=\frac{5}{32}$ :

$$\frac{3x^{2}-x^{3}}{4}=\frac{5}{32} \ \Rightarrow\ 8x^{3}-24x^{2}+5=0.$$

$x=\tfrac12$ が解（他の解は $[0,2]$ 外）。よって $\boxed{x=\tfrac12}$ 。

(d)

単調変換より $x=\dfrac{y-1}{2}$ , $\left|\dfrac{dx}{dy}\right|=\dfrac12$ 。

$$g(y)= \begin{cases} f\!\left(\dfrac{y-1}{2}\right)\cdot \dfrac12 =\displaystyle \frac{3}{32}\,(y-1)(5-y), & 1\le y\le 5,\\[8pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$