名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2024年8月実施 確率・統計

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

解の導出過程も書くこと。

[1]

次のように作られたコインが1つずつある。

• コインA: 表が出る確率が $1/3$, 裏が出る確率が $2/3$.
• コインB: 表が出る確率が $2/3$, 裏が出る確率が $1/3$.

以下の問いに既約分数で答えよ。

(a) コインAを $5$ 回投げるとき、表が $2$ 回だけ出る確率を求めよ。

(b) コインAを $4$ 回投げるとき、表が $2$ 回以上連続して出る確率を求めよ。

(c) コインを1つ無作為に選んで、$4$ 回投げて $1$ 回だけ表が出た場合、このコインがコインAである確率を求めよ。

[2]

確率変数 $X$ は次の確率密度関数 $f(x)$ を持つとする。ただし、$k$ は定数とする。

$$f(x) = \begin{cases} kx(2-x) &(0 \leq x \leq 2) \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

以下の問いに答えよ。

(a) 定数 $k$ を求めよ。

(b) 累積分布関数 $F(x)$ を求めよ。

(c) $F(x) = 1/2$ および $F(x) = 5/32$ のとき、それぞれに対応する $x$ の値を求めよ。

(d) 確率変数 $Y$ を $Y = 2X+1$ と定義する. $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を求めよ。

Kai

[1]

(a)

$$\begin{aligned} {}_5 \mathrm{C}_2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^4 \cdot 5}{3^5} = \frac{80}{243} \end{aligned}$$

(b)

表が $2$ 回以上連続して出ないのは、裏裏裏裏、表裏裏裏、裏表裏裏、裏裏表裏、裏裏裏表、表裏表裏、裏表裏表の7通りであり、これらの確率の和は

$$\begin{aligned} \left( \frac{2}{3} \right)^4 + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^4 + 2^5 + 2^3}{3^4} = \frac{56}{81} \end{aligned}$$

である。よって、求める確率は

$$\begin{aligned} 1 - \frac{56}{81} = \frac{25}{81} \end{aligned}$$

である。

(c)

コインAを $4$ 回投げて $1$ 回だけ表が出る確率は

$$\begin{aligned} 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{32}{81} \end{aligned}$$

であり、コインBを $4$ 回投げて $1$ 回だけ表が出る確率は

$$\begin{aligned} 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{8}{81} \end{aligned}$$

である。よって、求める確率は

$$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{81}} {\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{81} + \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{81}} = \frac{4}{5} \end{aligned}$$

である。

[2]

(a)

$$1=\int_{0}^{2}k\,x(2-x)\,dx =k\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx =k\Big[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{2} =k\Big(4-\frac{8}{3}\Big) =k\cdot \frac{4}{3}.$$

したがって

$$\boxed{k=\frac{3}{4}}.$$

(b)

$$F(x)=P(X\le x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{3}{4}\,t(2-t)\,dt =\frac{3x^{2}-x^{3}}{4}, & 0\le x\le 2,\\[8pt] 1, & x\ge 2. \end{cases}$$

(c)

• $F(x)=\frac12$:

  $$\frac{3x^{2}-x^{3}}{4}=\frac12 \ \Rightarrow\ x^{3}-3x^{2}+2=0 =(x-1)(x^{2}-2x-2)=0.$$

  区間 $[0,2]$ の解は $\boxed{x=1}$。

• $F(x)=\frac{5}{32}$:

  $$\frac{3x^{2}-x^{3}}{4}=\frac{5}{32} \ \Rightarrow\ 8x^{3}-24x^{2}+5=0.$$

  $x=\tfrac12$ が解（他の解は $[0,2]$ 外）。よって $\boxed{x=\tfrac12}$。

(d)

単調変換より $x=\dfrac{y-1}{2}$, $\left|\dfrac{dx}{dy}\right|=\dfrac12$。

$$g(y)= \begin{cases} f\!\left(\dfrac{y-1}{2}\right)\cdot \dfrac12 =\displaystyle \frac{3}{32}\,(y-1)(5-y), & 1\le y\le 5,\\[8pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$